PROBABILIDAD U. D. 15 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROBLEMAS DE PROBABILIDAD U. D. 15.5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRES MONEDAS C CCC C X CCX C CXC C X X CXX C XCC C X XCX X C XXC X X Se lanzan tres monedas al aire. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras? ¿Y la de obtener al menos dos cruces? 1ª Moneda 2ª Moneda 3ª Moneda Realizamos el Diagrama de árbol para visualizar todo el espacio muestral. El nº total de resultados es: N=2.2.2 = 23 = 8 P(CCC) = 1/8 = 0,125 = 12,5% P(2XU3X) = P(2X)+P(3X) = = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 0,5 = 50% C CCC C X CCX C CXC C X X CXX C XCC C X XCX X C XXC X X XXX @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CARTERO NEGLIGENTE Un cartero lleva tres cartas a unas viviendas con siete buzones. Como tiene prisa y es algo negligente, las distribuye al azar. ¿Qué probabilidad tiene de hacer en los destinatarios?. Probamos con el Diagrama de árbol: . B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 . C2 C3 . C1 C3 C2 . C1 C3 . C2 C3 C1 . C1 C2 . C3 C2 C1 Vemos que los buzones 4 al 7 se quedan sin cartas, y además vemos que ningún buzón tiene 2 o 3 cartas. Este esquema no vale para resolver el ejercicio al no permitir todos los casos posibles. Probamos con otro esquema. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Resolución . C1 C2 C3 Realizamos el Diagrama de árbol. . B1 . B1 B2 . B3 . B2 B4 B1 . B5 B2 . B3 B6 B3 . B7 B4 . B4 B5 . B6 . B5 B7 . . B6 . B7 Realizamos el Diagrama de árbol. En total habría 342 flechas o ramificaciones terminales, pues en la primera columna (la C1) habría 7 elementos, en la segunda (la C2) 49 (no solo los 7 señalados) y en la tercera (la C3) habría 343 (no solo los 7 que se muestran). Vemos ahora que el diagrama del árbol sí que funciona. Cualquier carta puede ser arrojada en cualquier buzón y cualquier buzón puede alojar hasta la totalidad de las tres cartas. El total de resultados es: N=7.7.7= 73 = 343 variantes. La probabilidad de acertar al azar es: P(Acertar) = 1 / 343 = 0,0029 = 0,29% @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

EXAMEN SELECTIVO En un examen de matemáticas, un alumno debe hacer tres de los ocho ejercicios propuestos y numerados por el profesor. Pero debe entregar cada ejercicio para su corrección al profesor antes de pasar al siguiente. Los tres ejercicios deben ser diferentes entre sí, no pudiendo repetir ninguno de los ocho propuestos. a) ¿Cuántas maneras distintas de corregir in situ se le pueden presentar al profesor?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres entregados sean los ejercicios Nºs 3, 6 y 7, en ese orden?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres entregados sean los ejercicios Nºs 3, 6 y 7, en cualquier orden?. d) ¿Cuál es la probabilidad de que, entre los tres entregados, se encuentre el Ejercicio propuesto Nº 5?. e) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres entregados tengan números sucesivos en orden creciente (Nºs 1, 2 y 3; Nºs 2, 3 y 4, etc)?. Nota: Se supone que el alumno elegirá en primer lugar el ejercicio más fácil de los 8; luego el más fácil de los 7 que le quedan; y por último el más fácil de los 6 que le quedan. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Resolución . T1 T2 T3 . E1 . E1 E3 . E4 . E2 E5 E1 . E6 E3 . E3 E7 E4 . E8 E5 . E4 E6 . E7 . E5 . . E6 . E7 . E8 a) Al comienzo del Árbol habrá 8 ramas; de cada una de ellas parten otras 7 ramas; y finalmente de cada una de estas 7 ramas parten otras 6 ramas, con lo cual: El nº total de casos posibles es: N = 8·7·6 = 336 El alumno entregará los tres ejercicios de una única manera, pero el profesor puede recibirlo de 336 formas para su corrección. b) El suceso de que entregue los ejercicios Nºs 3, 6 y 7, en ese orden, es único entre 336. Luego: P(3,6,7) = 1/336 = 0,0029 = = 0,29% En el esquema sólo son visibles 6 de los 336 casos @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Resolución c) El suceso de que entregue los ejercicios Nºs 3, 6 y 7, en cualquier orden da lugar a 6 ramas diferentes del Árbol, que son: {3 , 6, 7}, {3 , 7, 6}, {6, 3, 7}, {6, 7, 3}, {7, 3, 6} y {7, 6, 3} La probabilidad de cada una de las 6 ramas es la misma. Luego la probabilidad de que se cumpla cualquiera de ellas es: P(3,6,7 sin orden) = 6·P(3,6,7) = 6·0,0029 = 0,01785 = 1,79 % d) Para calcular la probabilidad de que entregue el Nº5 hay que ver en cuántas de las 336 ramificaciones aparece. Si el Nº 5 es el primero del trío, aparecerá 7·6 = 42 veces. Si el Nº 5 es el segundo del trío, aparecerá 7·6 = 42 veces. Si el Nº 5 es el tercero del trío, aparecerá 7·6 = 42 veces. P(Nº5) = Cf / Cp = (42+42+42)/336 = 126/336 = 0,375 = 37,5 % e) Para calcular la probabilidad de que los tres entregados tengan números sucesivos en orden creciente hay que visualizar los casos que cumplen con esa premisa, que son: {1 , 2, 3}, {2 , 3, 4}, {3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {5, 6, 7} y {6, 7, 8} La probabilidad de cada una de las 6 ramas es la misma. Luego: P(Orden creciente) = 6·P(3,6,7) = 6·0,0029 = 0,01785 = 1,79 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

URNA OPACA En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. c)¿Y de que sean de distinto color? P(B∩B) = 2/5 . 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) B 5/9 B P(B∩N) = 2/5 . 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) 2/5 4/9 N P(N∩B) = 3/5 . 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 B N 5/9 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c) 3/5 P(N∩N) = 3/5 . 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 4/9 N @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CAMBIO DE COLOR En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. P(B∩B) = 3/5 . 3/5 = 9/25 = 0,36 B 3/5 B P(B∩N) = 3/5 . 2/5 = 5/25 = 0,20 3/5 2/5 N P(N∩B) = 2/5 . 4/5 = 8/25 = 0,32 B N 4/5 2/5 P(N∩N) = 2/5 . 1/5 = 2/25 = 0,08 1/5 N Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28 = 28% @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.