LA NOTACIÓN SIGMA

 f(xi) La notación Sigma n i = 1 4. Y terminando con el subíndice n 2. Valores de la función para diferentes valores de xi n f(xi) 1. Sumar i = 1 3. Iniciando la suma a partir del subíndice 1

La notación Sigma La suma de n términos a1, a2, a3 , … , an se escribe abreviadamente: ai = a1 + a2 + a3 + … + an Donde i es el índice de la suma, ai es el i-ésimo término de la suma y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n

LA INTEGRAL COMO LÍMTE

El área como límite R x = a x = b x f Hallar el área de la región R, que está bajo la curva y = f(x), desde a hasta b. La región R está limitada por cuatro líneas: la función continua f, (con f(x)  0), el eje x la recta vertical x = a la recta vertical x = b

¿Qué representa el área bajo una curva? En aplicaciones geométricas: Áreas Longitudes de curvas Volúmenes de cuerpos. En la realidad cotidiana: El área bajo la curva de velocidad representa la distancia recorrida. El área bajo la curva de aceleración representa la velocidad alcanzada. El área bajo la curva de gasto volumétrico representa el volumen acumulado. El área bajo la curva de …

La integral como límite Para determinar la tangente en un punto, primero obtuvimos aproximaciones de la pendiente de la recta tangente, por las pendientes de las rectas secantes y, a continuación tomamos el límite de esas aproximaciones. Para determinar el área bajo una curva en un intervalo, primero obtendremos aproximaciones de la forma que tiene la región, por la suma de rectángulos que la cubren y, a continuación tomamos el límite de esas aproximaciones.

La integral como límite La integral definida formaliza el concepto de área. El concepto intuitivo es sencillo La definición formal es esencialmente complicada. El área A de la región R se define como el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos de aproximación. A = lim Ln , cuando n A = lim Un , cuando n

La integral como límite Si dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cerrados del mismo tamaño x: a = x0 < x1 < x2 < … < xi-1 < xi < xn-1 < xn = b ; la partición P = {x0, x1, x2, … , xi-1, xi, xn-1, xn} subdivide la región R en n franjas R1, R2, … , Ri, … , Rn , todas de ancho x = (b - a)/n, y los puntos extremos de cada intervalo son: xi = a + i·x x = a x = b x f R1 R2 R3 Ri-1 Ri Rn … x0 x1 x2 x3 xi-1 xi xn-1 xn

ESTIMACIÓN MEDIANTE SUMAS FINITAS

f(x) f(x) Sumas por la izquierda Sumas por la derecha      x      x            f(x)                 f(x) x f(xi-1) f(xi) f(xi-1) = valor de la función en extremo izquierdo del subintervalo f(xi) = valor de la función en extremo derecho del subintervalo A = lim In = lim  f(xi-1)x n n A = lim Dn = lim  f(xi)x n n

Sumas por el punto medio                 f(x) x f(i) f(xi-1) = valor de la función en el punto medio del subintervalo A = lim Mn = lim  f(i)x n n

f(x) f(x) Sumas inferiores Sumas superiores                      f(x) x                 f(x) x f(mi) f(Mi) f(mi) = valor mínimo de la función en el subintervalo f(Mi) = valor máximo de la función en el subintervalo A = lim Ln = lim  f(mi)x n n A = lim Un = lim  f(Mi)x n n

0.218750 0.273438 0.468750 0.398438 0.317871 0.349121 0.302734 0.349121 0.325562 0.341187 1/3 = 0.333333

n Ln Area real Un 4 0.21875 0.3333333 0.46875 8 0.2734375 0.3984375 16 0.30273438 0.36523438 32 0.31787109 0.34912109 64 0.32556152 0.34118652 1000 0.3328335 0.3338335 ¥

Sumas por la izquierda In es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = [(i-1)/n]2, con i = 1, n In = (1/n)(1/n)2 + (1/n)(2/n)2 + … + (1/n)[(n-1)/n]2 = (1/n3)[12 + 22 + 32 + … (n-1)2 ] = (1/n3)[(n-1)n(2n-1)]/6 = (n-1)(2n-1)/6n2 Si n, lim In = lim (n-1)(2n-1)/6n2 = lim (1/6)[(n-1)/n][(2n-1)/n] = (1/6)(1 - 1/n)(2 – 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Sumas por la derecha Dn es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = (i/n)2, con i = 1, n Dn = (1/n)(1/n)2 + (1/n)(2/n)2 + … + (1/n)(n/n)2 = (1/n3)(12 + 22 + 32 + … + n2) = (1/n3)[n(n+1)(2n+1)]/6 = (n+1)(2n+1)/6n2 Si n, lim Dn = lim (n+1)(2n+1)/6n2 = lim (1/6)[(n+1)/n][(2n+1)/n] = (1/6)(1 + 1/n)(2 + 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Sumas inferiores Ln es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor mínimo de la función en cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = f(mi), con i = 1, n Ln = (1/n)(0)2 + (1/n)(1/n)2 + … + (1/n)[(n-1)/n]2 = (1/n3)[12 + 22 + 32 + … + (n-1)2] = (1/n3)[(n-1)n(2n-1)]/6 = (n-1)(2n-1)/6n2 Si n, lim Ln = lim (n-1)(2n-1)/6n2 = lim (1/6)[(n-1)/n][(2n-1)/n] = (1/6)(1 - 1/n)(2 - 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Sumas superiores Dn es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor máximo de la función cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = (i/n)2, con i = 1, n Dn = (1/n)(1/n)2 + (1/n)(2/n)2 + … + (1/n)(n/n)2 = (1/n3)(12 + 22 + 32 + … + n2) = (1/n3)[n(n+1)(2n+1)]/6 = (n+1)(2n+1)/6n2 Si n, lim Dn = lim (n+1)(2n+1)/6n2 = lim (1/6)[(n+1)/n][(2n+1)/n] = (1/6)(1 + 1/n)(2 + 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Un racional como serie infinita 1/3 = 0.3 = 0.3333 … = 0.3 + 0.03 + 0.003 + … = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … = 3(1/10 + 1/100 + 1/1000 + …) = 3(1/101 + 1/102 + 1/103 + …) = 3(1/10n), n = 1,  = 3 lim (1/10n), cuando n   = 3(1/9) = 1/3

A = 9 Área bajo la curva f(X) = X2 en el intervalo [0, 3] Ordenada máxima Ordenada mínima n= 3 A = 14 n = 3 A = 5

Ordenada máxima Ordenada mínima n = 20 A = 9.69 n = 20 A = 8.34 n = 50

Área bajo la curva f(x) = x2, en el intervalo [0, 3] Número de intervalos A = Área con ordenada máxima A = Área con ordenada mínima Diferencia de aproximaciones 3 14.0000 5.0000 9.0000 4 12.6563 5.9063 6.7500 5 11.8800 6.4800 5.4000 6 11.3750 6.8750 4.5000 8 10.7578 7.3828 3.3750 10 10.3950 7.6950 2.7000 20 9.6863 8.3363 1.3500 30 9.4550 8.5550 0.9000 40 9.3403 8.6653 0.6750 50 9.2718 8.7318 0.5400 75 9.1808 8.8208 0.3600 100 9.1355 8.8655 0.2700 200 9.0676 8.9326 0.1350 ¥ 0.0000 Si n  , A  9 A  9 dif.  0

Método de Aproximación Rectangular de ordenada mínima n = 8 4 = 100/3 = 33.33 A = 29.5 Método de Aproximación Rectangular de ordenada máxima n = 8 Método de Aproximación Rectangular con puntos medios n = 8 A = 37.5 A = 33.25

Método de Aproximación Rectangular de ordenada máxima n = 32 de ordenada mínima n = 64 A = 34.38 A = 32.84 Método de Aproximación con trapecios n = 4 Método de Aproximación Simpson, con segmentos parabólicos n = 4 A = 30.00 A = 30.00