ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ECUACIONES LINEALES U. D. 6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ECUACIONES LINEALES Para resolver una ecuación lineal (o de primer grado) hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ECUACIONES LINEALES TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a  x = - a Si en una desigualdad ( o inecuación) multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, el signo de la desigualdad cambia. - x < a  x > - a Ejemplo: Numéricamente: - 2 < 3  2 > - 3 Algebraicamente: - x < 2  x > - 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos EJEMPLOS 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7 2. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 x – 2 + 2 = x + 5 + 2  x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x  0 = 7  INCOMPATIBLE 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 x – 2 + 2 = x - 2 + 2  x = x  INFINITAS SOLUCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos 4. Resolver la ecuación: x --- – 2 = 6 3 Sumo 2 a ambos lados, quedando: x / 3 = 6 + 2  x / 3 = 8 Multiplico todo por 3, quedando: x = 3.8  x = 24 5. Resolver la ecuación: 2.x ------ – 2 = x – 6 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18 Sumamos 18 a ambos lados, quedando: – 6 + 18 = x - 18 + 18  12 = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos 6. Resolver la ecuación: 4·(x – 2) 3 Multiplico todo por 3 para eliminar el denominador, quedando: 4·(x – 2) – 12 = 3·(x – 5) 4·x – 8 – 12 = 3·x – 15 4·x – 3·x = 8 + 12 – 15 x = 20 – 15  x = 5 7. Resolver la ecuación: 2.(x – 4) x -------------- – x – 3· ---- = 4 – (x – 6) 3 2 Multiplicamos ambos lados por 6 (mcm de 2 y 3), quedando: 2·2·(x – 4) – 6·x – 3·3·x = 6·4 – 6·(x – 6) 4·x – 16 – 6·x – 9·x = 24 – 6·x + 36 4·x – 6·x – 9·x + 6·x = 24 + 36 + 16 – 5·x = 76  5·x = – 76  x = – 76 / 5  x = – 15’20 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos 8. Resolver la ecuación: 2·(x – 3)2 x2 (5 – x)2 ------------- – ----- = -------------- 3 6 2 Multiplico todo por 6 (mcm de 2,3 y 6) para eliminar denominadores: 4·(x – 3)2 – x2 = 3·(5 – x)2 4·(x2 – 6·x + 9) – x2 = 3·(25 – 10·x + x2) 4·x2 – 24·x + 36 – x2 = 75 – 30·x + 3·x2 4·x2 – x2 – 3·x2 = 24·x – 36 + 75 – 30·x 0 = 24·x – 36 + 75 – 30·x – 24·x + 30·x = – 36 + 75 6·x = 39 x = 39/6 = 13/2 x = 6,50 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos 9. Resolver la ecuación: 3.(2·x – 1)2 1 – x (4·x – 3)·(1 – 6·x) ----------------- – (3 – x) – ---------- = 4 – ------------------------- 5 2 10 Multiplicamos ambos lados por 10 (mcm de 2, 5 y 10), quedando: 6·(2·x – 1)2 – 10·(3 – x) – 5·(1 – x) = 10·4 – (4·x – 3)·(1 – 6·x) 6·(4·x2 – 4·x + 1) – 30 + 10·x – 5 + 5·x = 40 – (4·x – 3 – 24·x2 + 18·x) 24·x2 – 24·x + 6 – 30 + 10·x – 5 + 5·x = 40 – 4·x + 3 + 24·x2 – 18·x 24·x2 – 24·x2 = 24·x – 6 + 30 – 10·x + 5 – 5·x + 40 – 4·x + 3 – 18·x 0 = – 3·x + 72 3·x = 72 x = 72 / 3 x = 24 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.