Unidad 7. Capítulo IV. Propiedades de la Transformada de Laplace.

U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Linealidad: Sean f y g funciones que tienen transformada de Laplace, entonces para a, b  R: Prueba: así: 

 Por otra parte: Prueba: así: U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Por otra parte: Prueba: así: 

Versión para la Transformada Inversa. U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Por lo tanto: Versión para la Transformada Inversa. Como se puede observar, el operador transformada de Laplace hereda las propiedades del operador integral, por lo tanto es un operador lineal.

excepto en los puntos de discontinuidad. U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Unicidad: Sean f y g funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, entonces si: entonces excepto en los puntos de discontinuidad. Por contrapuesta:

U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. 1er teorema de traslación: Sean f continua por tramos y de orden exponencial y a una constante. Entonces para s > a: Prueba: si s – a = b : en donde:  Versión para la inversa:

U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Transformada de una derivada: Sean f y su derivada, f’, funciones de orden exponencial continuas por tramos, entonces: Prueba: cuando s > 0: así: 

 Transformada de una integral: Prueba: De: con: Por lo tanto: U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Transformada de una integral: Prueba: De: con: Por lo tanto: 

 Integral de una transformada: Prueba: con t > 0: de esta manera: U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Integral de una transformada: Prueba: con t > 0: de esta manera: 

 Derivada de una transformada: Prueba: Por lo tanto: U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Derivada de una transformada: Prueba: Primera derivada: Por lo tanto: 

 ⁞ Por lo tanto: En general: Segunda derivada: U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Segunda derivada: Por lo tanto:  ⁞ En general:

 2° teorema de traslación: Prueba: si m = t – a: U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. 2° teorema de traslación: Prueba: si m = t – a:  Versión para la inversa:

U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. Teorema de convolución: Sean f y g dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial. Si su convolución es , entonces: Prueba: Sean: entonces:

 con t = b + t : e invirtiendo el orden de integración: así: U-7. Cap. I. Propiedades de la transformada de Laplace. con t = b + t : e invirtiendo el orden de integración: así: 