EXPRESIONES ALGEBRAICAS U.D. 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
FRACCIONES ALGEBRAICAS U.D. 3.7 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIÓN ALGEBRAICA Es el cociente de dos polinomios. P(x) / Q(x) Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de números reales. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones, P(x) / Q(x) y M(x) / N(x) son equivalentes si: P(x) M(x) ----- = ------ , lo que implica que P(x).N(x) = Q(x).M(x) Q(x) N(x) Ejemplo x2 – 1 x – 1 ---------------- y -------- x2 – 2.x + 3 x – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para que una fracción racional P(x) / Q(x) se pueda simplificar debe haber, al menos un factor común entre P(x) y Q(x). Ejemplo 1 x3 – 8 (x - 2).(x2 + 2.x + 4) x2 + 2.x + 4 -------- Factorizando ---------------------------- = ------------------- x2 – 4 (x + 2).(x – 2) x + 2 Si un polinomio está dividido por un monomio, dicho monomio divide a todos y cada uno de los monomios del polinomio. NO SE PUEDE SIMPLIFICAR UN MONOMIO DEL POLINOMIO CON EL MONOMIO DIVISOR x3 + x2 + 2.x + 4 ------------------------ = x3 + 2.x + 4 MUY MAL OPERADO x2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO_2 Sea P(x) (x – 2).(x – 3).(x + 3)2 ------ = -------------------------------- Q(x) (x + 2).(x + 3).(x – 3)3 Eliminamos de la expresión los factores comunes, quedando: P(x) (x – 2).(x + 3) ------ = ---------------------- Q(x) (x + 2).(x – 3)2 EJEMPLO_3 Sea P(x) x5 + x4 – 8.x3 – 5.x2 + 25.x – 14 ------ = ------------------------------------------- , que factorizamos: Q(x) x3 – 4.x2 + 5.x – 2 P(x) (x – 1)2 .(x – 2 ).(x2 + 5.x + 7) ------ = ---------------------------------------- = x2 + 5.x + 7 Q(x) (x – 1)2 .(x – 2 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I Común denominador Para multiplicar o dividir fracciones NO se precisa realizar el m.c.m. o común denominador de los denominadores. Para sumar o restar fracciones es obligatorio realizar el m.c.m. o común denominador de los denominadores. Para sumar o restar fracciones el común denominador de los denominadores puede ser el producto de los mismos (no el m.c.m.). Pero no es nada recomendable. Para sumar o restar fracciones el común denominador debe ser el m.c.m. de los denominadores. Ejemplo x – 2 x + 4 (x + 2).(x – 2) + (x – 3).(x + 4) ----------- + ------------------- = ----------------------------------------- = ……… (x – 3)2 (x – 3).(x+2) (x – 3)2 .(x+2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Mínimo común múltiplo: MCM MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más polinomios, es el menor de los polinomios múltiplos comunes. Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los polinomios con el mayor exponente que presenten. Ejemplo_1 Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x – 3)2 .(x + 2)3 Q(x) = (x – 3)3 .(x + 2). (x + 1) MCM = (x – 3)3 .(x + 2)3 .(x + 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_2 Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x – 3)2 .(x + 2) Q(x) = (x + 3)3 .(x – 2). (x + 1) MCM = (x – 3)2 .(x + 2). (x + 3)3 .(x – 2). (x + 1) Ejemplo_3 P(x) = (x – 3)5 Q(x) = (x – 3) . (x + 1) MCD = (x – 3)5 (x + 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Operaciones con fracciones Ejemplo_1 x 4 - x x + 4 - x 4 ------- + -------------- = --------------- = ---------- x – 3 x – 3 x – 3 x – 3 Ejemplo_2 1 x + 2 1 x + 2 ------- + ------------------ = ----------- + ------------------- = x – 3 x2 – 9 (x – 3) (x + 3).(x – 3) x + 3 x + 2 2.x + 5 2.x + 5 ------------------- + ------------------ = -------------------- = --------------- (x – 3).(x + 3) (x – 3).(x + 3) (x + 3).(x – 3) x2 – 9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_3 x 7.x - 9 x 7.x - 9 ------- -- ------------------ = ----------- -- -------------------- = x – 3 x2 – 2x – 3 x – 3 (x – 3).(x + 1) M.c.m. =(x – 3).(x + 1) x. (x+1) - (7.x – 9 ) x2 + x – 7.x + 9 x2 - 6.x + 9 = ---------------------------- = ------------------------ = ------------------- = (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) Se factoriza el numerador siempre que sea posible: (x – 3).( x – 3) x – 3 = --------------------- = ---------- , que es la solución simplificada. (x – 3).(x + 1) x + 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_4 x x2 – 9 x.(x2 – 9) x.(x + 3).(x – 3) x.(x + 3) ------- . ----------- = ------------------ = --------------------- = --------------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x +1) (x – 3).(x +1) x + 1 Ejemplo_5 x2 – 4 x2 – 9 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) --------- . ----------- = --------------------------------------- = (x – 2).(x – 3) x + 3 x + 2 (x + 3).(x +2) Ejemplo_6 x – 4 9 – y2 (x – 4).(3 + y).(3 – y) 3 – y -------- . ------------ = ------------------------------ = ---------- y + 3 x2 – 16 (y + 3).(x + 4).(x – 4) x + 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I
Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_7 x – 1 x + 3 (x – 1).(x + 1) x2 – 1 ------- : ----------- = ------------------ = ---------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x + 3) x2 – 9 Ejemplo_8 x2 – 4 x – 2 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) --------- : ----------- = --------------------------------------- = (x + 2).(x + 3) x – 3 x2 – 9 (x – 3).(x – 2) Ejemplo_9 x – y x2 – y2 (x – y).(x + y) 1 ---------- : ----------- = ------------------------------------ = ------------------ y2 – x2 x + y (y + x).(y – x).(x + y).(x – y) (y + x).(y – x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I