Unidad 2 Capítulo III Ecuaciones separables
Una ecuación diferencial de primer orden en la forma U-2. Cap. III Ecuaciones Separables Una ecuación diferencial de primer orden en la forma se que es dice separable cuando la función f (x, y) puede expresarse como el cociente de dos funciones, una de x y otra de y, es decir: y así: o bien:
Por ejemplo, la ecuación U-2. Cap. III Ecuaciones Separables Por ejemplo, la ecuación es separable, dado que se puede ordenar en la forma: En esta ecuación diferencial, las variables se pueden separar de manera que el factor de la derivada sea una función de y, mientras que el otro miembro de la ecuación resulte una función de x.
y, de acuerdo con la definición de la diferencial: U-2. Cap. III Ecuaciones Separables Solución: Una vez separadas las variables de la ecuación diferencial, aplique el operador integral en ambos lados: y, de acuerdo con la definición de la diferencial: se tiene, como solución general: Siempre que las integrales tengan solución analítica. Si este no es el caso, debe usarse algún método numérico.
Ejemplo: Resuelva la ecuación separable previamente discutida. U-2. Cap. III Ecuaciones Separables Ejemplo: Resuelva la ecuación separable previamente discutida. Solución: Al aplicar el operador integral en la ecuación: se obtiene: ¡verifíquelo!
Solución: En primer lugar, separe las variables U-2. Cap. III Ecuaciones Separables Ejemplo: Mediante el método de separación de variables resuelva el siguiente problema de valor inicial: Solución: En primer lugar, separe las variables Enseguida, aplique el operador integral:
Haga u = y + 1, así du = dy y y = u 1, por tanto: U-2. Cap. III Ecuaciones Separables Las integrales resultantes se pueden calcular a través de la técnica de cambio de variable: Haga u = y + 1, así du = dy y y = u 1, por tanto: Haga w = ln x, así dw = (1/x) dx, por lo tanto
De acuerdo con lo anterior, la solución general es: U-2. Cap. III Ecuaciones Separables De acuerdo con lo anterior, la solución general es: Al aplicar la condición inicial, para x = e, y = 0. Por lo que la solución particular es: