Diferentes Formas Funcionales Cosas del Analisis de Regresion y Otras Cosas del Analisis de Regresion

u X Y + = b Regresion a traves del origen La ordenada en el origen es cero. i u X Y + = 2 b i.e., i Y ^ ^ RRM : Y =  X i 2 i 2 b ^ 1 i X

( ) X Y b = El modelo estimado: ^ å å å X Y u b ^ + = Regresion a traves del origen El modelo estimado: i X Y 2 b ^ = o i X Y u b ^ + = 2 Aplicando MCO: å ( ) = 2 i X Var s b ^ å = 2 i X Y b ^ y N -1 2 = å u s ^ y

å R2 ^ u Algunas caracteristicas de este modelo 1. No tiene por que ser cero R2 2. En algunas ocasiones puede ser negativo. En la practica: Incluir siempre un termino constante en la regresion, al no ser que se tenga una muy fuerte razon teorica para su no existencia.

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) å å ( ) å ( ) å å u X Y + = b Y = b + b X + u ( ) Regresion a traves del origen i u X Y + = 2 b Y = b + b X + u 1 2 i å = b 2 x2 xy ^ å XY ^ b = å å X2 2 ^ s ( ) = b 2 x Var ^ 2 ( ) ^ s 2 ^ Var b = å 2 å X2 å ^ 2 - = n u s 1 2 - = å n u ^ s [ ( ) ( ) ] å X - 2 X Y - Y R 2 = å 2 ( ) ( ) ( XY ) å X - X 2 å Y - Y 2 ??? R 2 = å å o ( ) å = 2 y x xy R X2 Y2

Ejemplo 1: Capital Asset Pricing Model (CAPM) para la accion i’s ER - r = b ER - r i f 2 m f Rendimiento de un activo libre de riesgo Tasa esperada de rendimiento de la accion i Tasa esperada de rendimiento de la cartera del mercado 2 b Como medida del riesgo sistematico 2 b >1 ==> una accion volatil o agresiva 2 b <1 ==> una accion defensiva

b ER - rf Ejemplo 1:(cont.) Linea de mercado para la accion i ER - r 1 2 1 ER - rf m

Ejemplo 2: Paridad encubierta de los tipos de interes f e F i = - ) ( * Los diferenciales internacionales en las tasas de interes deben ser iguales a la prima del tipo de cambio (forward). ( ) * e F i 2 - = b i.e., Linea de la paridad encubierta de los tipos de interes b 2 1

- F e ( i - i ) = b + b ( ) + u e Ejemplo 2:(Cont.) en la regresion: * ) = b + b ( ) + u 1 2 e i Si la teoria de la paridad encubierta es cierta, entonces b1=0

X Y 0899 . 1 = ^ y: Rentabilidad del fondo A, % X: Rentabilidad de un indice del mercado, % X Y 0899 . 1 = ^ Informe : R2=0.714 SCR=19.54 N=10 (5.689)

¿Que muestra el valor del estadistico t sobre la significatividad de ? H0: 1 = 0 1.279 - 0 7.668 X Y 0691 . 1 2797 + = ^ (0.166) (4.486) R2=0.715 SCR=20.69 N=10 ¿Que muestra el valor del estadistico t sobre la significatividad de ?

Formas Funcionales de la Regresion El termino lineal en un modelo de regresion simple significa que es lineal en los parametros; pero en las variables de la regresion puede ser lineal o no.

Yi = 1 + 2Xi + exp(3Xi) + ui Lineal vs. Nonlineal Ejemplos de Modelos Lineales Yi = 1 + 2Xi + ui Yi = 1 + 2 ln(Xi) + ui ln(Yi) = 1 + 2Xi + ui Yi = 1 + 2Xi + ui 2 Ejemplos de Modelos No-Lineales Yi = 1 + 2Xi + ui 3 3 Yi = 1 + 2Xi + ui Yi = 1 + 2Xi + exp(3Xi) + ui

Diferentes Formas Funcionales 1. Lineal 2. Log-Log 3. Semilog Lineal-Log Log-Lineal 4. Reciproca Presta Atencion a la pendiente y a la elasticidad de cada una de las formas

e X Y b = X X u ln Y + - = b b1 u ln Y + - = b Y = b + b + X u Formas Funcionales de los modelos de regresion 1. Modelo log-log : Este es un modelo no-lineal ui e X Y 1 b2 b - = Tomando Logs lo convertimos en lineal : i u X ln Y + - = 2 b b1 i u X ln Y + - = 2 * 1 b ==> ==> Y * = b * + b * + X * u donde b * = - b 1 2 i 2 2 * ln b2 = X dX Y dY d Coef de elasticidad

Formas Funcionales de los modelos de regresion Cantidad Demandada lnY Y ln Y = ln b - b ln X Y = b X - b 1 2 2 1 lnX X precio

u X Y + = ln a u X Y + = ln b = a = b Formas Funcionales de los modelos de regresion 2. Modelo Semi log: Modelo Log-lineal o lineal-log: i u X Y + = 2 1 ln a o i u X Y + = ln 2 1 b = 2 a Cambio relativo en y Cambio absoluto en x Y dX dY d 1 ln y Cambio absoluto en y 1 ln X dX dY d = = 2 b Cambio relativo en x

Formas Funcionales de los modelos de regresion (cont) 3. Transformacion reciproca o inversa i u X Y + = ) 1 ( 2 b 1 = b + b ==> Y ( X * ) + u donde X * = i 1 2 i i i X i

Algunas caracteristicas del modelo reciproco Y 1 b X X Y 1 b2 b1 + = > b1 y 2 > b Y X Y 1 b2 b1 + = + 1 < b y 2 > b X - 1 -b

Algunas caracteristicas del modelo reciproco (Cont.) Y 1 b X Y 1 2 b + = 1 > b y 2 < b X 1 2 / b -

Ejemplo 1: X Y b + = X Y b + = Ejemplo 2: b + = X Y X Y b + = Sea 3 2 4 1 X Y b + = X3* = X22 transformando X4* = X2X3 queda * 4 3 2 1 X Y b + = Ejemplo 2: 3 2 1 b + = X Y 3 * 2 1 b + = X transformando queda * 2 1 X Y b + = Sin embargo, X2* no se puede calcular porque no se conoce.

Aplicaciones: u K L Y + = ln b Y = b L K e 1. Funcion de Producion Cobb-Douglas: Y = b L b2 K b3 e u 1 Transformando: u K L Y + = ln 3 2 1 b ==> 2 ln b = L d Y : elasticidad del output c.r al trabajo 3 ln b = K d Y : elasticidad del output c.r al capital 1 3 2 = + b > < Informacion sobre los rendimientos de escala

2. modelo de regresion polinomial: Funcion de Costes Marginales o funcion de Costes Totales costs y coste y i.e. u X Y + = 2 1 b (Cm) MC or coste y TC u X Y + = 3 2 1 b (CT)

dY = ( ) dX ( = ) dX Resumen dY Y b = dX dY X Y = b + b X ) ( Y b ln Y Pendiente Elasticidad Resumen dY Del modelo dY Y ( = = ) ( ) dX dX X 2 b = dX dY X Y = b + b lineal X ) ( 2 Y b 1 2 2 ln b = X dX Y dY d Log-log ln Y = b + b ln X 2 b 1 2 ) ( 2 X Y dX dY b = ==>

Resumen(Cont.) X Y ln b + = X Y ln b + = X Y 1 b + = Pendiente Elasticidad Resumen(Cont.) 2 ln b = dX Y dY d Log-lineal X Y 2 1 ln b + = X 2 b Y dX dY 2 b = ==> dY dY Y 1 2 b X Y ln 2 1 b + = Lineal-log = = b d ln X dX 2 X X dX dY 1 2 b = ==> X Y 1 2 b + = 2 ) 1 ( b = - dX X dY d -1 Reciproca b ( ) 2 XY dY -1 ==> = b dX 2 X2

Modelo Lineal 2 5325 . 1 304 100 M P N G + = ^ (1.368) (39.20)

Modelo Lin-log GNP = -1.6329.21 + 2584.78 lnM2 (-23.44) (27.48) ^

Modelo Log-lin ^ lnGNP = 6.8612 + 0.00057 M2 (100.38) (15.65)

Modelo Log-log 2 ln 9882 . 5529 M NP G + = ^ (3.194) (42.29)

^ Modelo Lineal wage=10.343-3.808(unemploy) (4.862) (-2.66) Wage(y) 10.43 RRM unemp.(x)

^ ) 1 ( x Modelo Reciproco Wage = -1.4282+8.7243 y (-.0690) (3.063) uN uN: tasa natural de desempleo -1.428 FRM

Modelo Log-log ^ lnwage = 1.9038 - 1.175ln(unemploy) (10.375) (-2.618)

Lnwage = 1.9038 + 1.175 ln ) 1 ( X (10.37) (2.618) ^

Escala y unidades de medida = b + b X + ui 1 2 2 b : pendiente de la recta de regresion dX dY o X Y D 2 b = si Y* = 1000Y X* = 1000X i u X Y ^ 1000 2 1 + = b entonces 1000 ^ ^ ^ Y * = * + b X * + u * ==> 1 2

Cambios en la escala de X e Y Yi = 1 + 2Xi + ui Cambia el R2?, cambian los estadisticos t ?, y los demas estadisticos?? Yi/k = (1/k)+2Xi/k + ui/k Yi = 1 + 2X*i+ u*i * Yi = Yi/k donde * * ui = ui/k 1 = 1/k * Xi = Xi/k * y

Cambio de escala de x Yi = 1 + 2Xi + ui Yi = 1 + (k2)(Xi/k) + ui Los coef estimados y los errores estandar cambian, pero los demas estadisticos no cambian. Yi = 1 + (k2)(Xi/k) + ui Yi = 1 + 2X* i+ ui * donde 2 = k2 * Xi = Xi/k * y

Cambio de escala de Y Yi = 1 + 2Xi + ui Yi/k = (1/k) + (2/k)Xi + ui/k Todos los estadisticos cambian excepto el t y el R2. Yi = 1 + 2Xi + ui * Yi = Yi/k donde * * ui = ui/k 1 = 1/k * 2 = 2/k * y

^ GNPB IB D GP 1739 . 001 37 + - = Ambos medidos en billones: 001 37 + - = ^ Ambos medidos en billones: (-0.485) (3.217) …B: Billon de $$ de 1972

^ GNPM IM D GP 1739 . 52 37001 + - = Ambos medidos en millones: 52 37001 + - = ^ Ambos medidos en millones: (-0.485) (3.217) …M: Millones de $$ de 1972

GNPB IM D GP 9491 . 173 52 37001 + - = ^ (-0.485) (3.217)

GNPM IB D GP 00017 . 0015 37 + - = ^ (-0.485) (3.217)

Predicion con el modelo de regresion lineal: Por ejemplo: El gasto en consumo estimado para el periodo1947-1995 es ^ C = 238 . 4 + . 87 Y t t Los valores de Y96 = 10,419; Y97 = 10,625; … Y99 =11,286 Las prediciones calculadas son: 1996: 1997: 1999: ^ C = 238 . 4 + . 87 ( 10 , 149 ) = 9 , 355 96 ^ C = 238 . 4 + . 87 ( 10 , 625 ) = 9 , 535 . 50 97 ……. ^ C = 238 . 4 + . 87 ( 11 , 286 ) = 10 , 113 . 70 99

^ Y ^ ^ = b + b X ^ ^ Y = b + b ^ X t x ^ u ^ = Y - Y t Predicion con el modelo de regresion lineal bivariante Situate en el contexto de datos de series temporales: ^ Y ^ ^ = b + b X t 1 2 t Predicion para el periodo t+ es t ^ ^ Y = b + b ^ X t + t 1 2 t + t t : # de periodos en el futuro t + x : es un valor observado o controlado de la variable en el futuro Error de Predicion: ^ u ^ f = Y - Y t + t t + t t + t

k n Y - å = ) ( - ECM = = k n Y - å ) ( Comparaciones de prediciones ^ 2 ) ( - Error Cuadratico Medio (ECM) Raiz cuadrada del ECM ECM = = k n Y - å 2 ) ( ^ k n - ) Y | ( i å EMAP = ^ Error Porcentual Absoluto Medio (EPAM)