Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 5 * 3º ESO E.AC. Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Ecuaciones de segundo grado U.D. 5.4 * 3º ESO E.AC. Ecuaciones de segundo grado @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ECUACIÓN DE 2º GRADO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO También llamada ecuación cuadrática. Es aquella que, tras pasar todo el segundo miembro de una igualdad al primero, el polinomio característico es de grado 2. Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son números; y siempre a<>0 Pueden darse varios casos: CASO 1.- a = 0 NO SERÍA ECUACIÓN CUADRÁTICA. CASO 2.- b = 0 y c = 0 Solución única: x = 0 CASO 3.- b = 0 a.x2 + c = 0 INCOMPLETA CASO 4.- c = 0 a.x2 + b.x = 0 INCOMPLETA CASO 5.- b<>0, c<>0 a.x2 + b.x + c = 0 COMPLETA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Soluciones de una ecuación SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de x que al ser sustituidos verifican la ecuación. EJEMPLOS DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN Sea x2 - 3.x + 2 = 0 Si x = 1 12 - 3.1 + 2 = 0  1 – 3 + 2 = 0  0 = 0 x = 1 es una solución. Si x = 2 22 - 3.2 + 2 = 0  4 – 6 + 2 = 0  0 = 0 x = 2 es otra solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Equivalencia de ecuaciones Dos ecuaciones de segundo grado son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. EJEMPLOS DE ECUACIÓN EQUIVALENTE Sea x2 - 3.x + 2 = 0 x = 1 y x = 2 son las dos soluciones de la ecuación. 3.x2 - 9.x + 6 = 0 Es equivalente a la primera. 2.x2 - 6.x + 4 = 0 Es equivalente a la primera. - 5.x2 + 15.x – 10 = 0 Es equivalente a la primera. Y así miles de ellas. ¿Cómo se hacen ecuaciones equivalentes? Antes de resolver una ecuación hay que simplificarla, transformarla en una ecuación equivalente. En general dividiendo todo entre el valor de a. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ECUACIONES OBVIAS CASO 1 Tiene la forma b.x + c = 0 a = 0  NO son ecuaciones cuadráticas, son lineales. Ejemplos 4.x + 5 = 0  a = 0, b = 4, c = 5  E. LINEAL – 3.x + 1 = 0  a = 0, b = – 3 , c = 1  E. LINEAL CASO 2 Tiene la forma a.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/a  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 4.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/4  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 – 5.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/(– 5)  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 3 Tiene la forma a.x2 + c = 0 Resolución: Paso 1.- a.x2 = - c Paso 2.- x2 = - c / a Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen. EJEMPLO 1 Sea x2 - 4 = 0 Resolución: x2 = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2 x1 = + 2 x2 = - 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 2 Sea 2.x2 - 18 = 0 Resolución: Simplificamos: x2 – 9 = 0  x2 = 9  x = +/- √ 9 Dándonos las dos raíces: x1 = + 3 , x2 = - 3 EJEMPLO 3 Sea 9.x2 - 16 = 0 Resolución: 9.x2 = 16  x2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9) Dándonos las dos raíces: x1 = + 4/3 , x2 = - 4/3 EJEMPLO 4 Sea 5.x2 - 10 = 0 Resolución: Simplificamos: x2 – 2 = 0  x2 = 2  x = +/- √2 Dándonos las dos raíces: x1 = + √2 , x2 = - √2 Nota: Aunque se puede emplear la fórmula ya conocida, para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas no es muy aconsejable. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 4 Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 Resolución: Clave: Sacar factor común a x. Paso 1.- x . (a.x + b ) = 0 Paso 2.- x = 0 es un raíz Paso 3.- a.x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz EJEMPLO 1 Sea 2.x2 + 8.x = 0 Resolución: 2.x . (x + 4 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 4 = 0  x = - 4 es la otra raíz x1 = 0 ,, x2 = - 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 2 Sea x2 + x = 0 x . (x + 1 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 1 = 0  x = - 1 es otra raíz x1 = 0 x2 = - 1 EJEMPLO 3 Sea 4.x2 -- 3.x = 0 x . (4.x – 3) = 0  x = 0 es una raíz 4.x – 3 = 0  4.x = 3  x = 3 / 4 es otra raíz x2 = 3 / 4 = 0,75 EJEMPLO 4 Sea 3.x2 - 8.x = 0 x . (3.x - 8 ) = 0  x = 0 es una raíz 3.x - 8 = 0  3.x = 8  x = 8 / 3 es la otra raíz x2 = 8 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO