ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL TEMA 11 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I MEDIDAS DE DISPERSIÓN TEMA 11.6 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I MEDIDAS DE DISPERSIÓN Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los valores en una serie estadística respecto de la media. RECORRIDO Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la variable. DESVIACIÓN Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la serie. Pueden ser valores negativos o positivos. La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero. DESVIACIÓN MEDIA Es la MEDIA aritmética de la suma de valores absolutos de todas las desviaciones de una serie. ∑ | xi - x |.fi Dm = -----------------, que da siempre un valor positivo. ∑ fi Se emplea para comparar dos series semejantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I VARIANZA Es la MEDIA ARITMÉTICA de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media. ∑ [ (xi - x )2 . fi ] ∑ xi2. fi V = ------------------------ = ----------- -- x2 ∑ fi ∑ fi DESVIACIÓN TÍPICA Es la raíz cuadrada de la varianza. s = √V Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética. CV = s / x , que suele darse en porcentajes. Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Desviación Típica (σ) El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran entre (x-σ) y (x+σ) Frecuencias relativas 68 % x-σ x x+σ Modalidades ( valor de x ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Frecuencias relativas 68 % x-3σ x-2σ x-σ x x+σ x+2σ x+3σ 95 % 99 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_1 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas xi fi xi fi |xi-x| |xi-x|.fi fi xi 2 3 40 120 1,80 72 360 5 30 150 0,20 6 750 7 210 3,20 96 1470 100 480 174 2580 VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 25,80 – 4,82 = ∑ fi = 2,76 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√2,76 = 1,66 DESVIACIÓN MEDIA Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 174/100 = = 1,74 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 1,66 / 4,8 = 0,346 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_2 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas clases xi = m.c. fi xi fi |xi-x| |xi-x|.fi fi xi 2 [0,5 , 3,5] 2 40 80 2,70 108 160 (3,5 , 6,5] 5 30 150 0,30 9 750 (6,5 , 9,5] 8 240 3,30 99 1920 100 470 216 2830 VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 28,30 – 4,72 ∑ fi V = 6,21 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√6,21 = 2,49 DESVIACIÓN MEDIA Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 216/100 = = 2,16 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_3 Tamaño (en mm) de tornillos fabricados en una máquina. clases xi = m.c. fi xi fi |xi-x|.fi fi xi 2 [9,7 , 9,8] 9,75 54 526,50 13,3974 5133,375 (9,8 , 9,9] 9,85 65 640,25 9,6265 6306,4625 (9,9 , 10] 9,95 406 4039,70 19,5286 40195,015 [10 , 10,1] 10,05 342 3437,10 17,7498 34542,855 (10,1, 10,2] 10,15 87 883,05 13,2153 8962,9575 (10,2 , 10,3] 10,25 46 471,50 11,5874 4832,875 1000 9998,10 85,1050 99973,54 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN EJEMPLO_3 MEDIA ∑ xi.fi 9998,10 x = ---------- = ----------- = 9,9981 ∑ fi 1000 VARIANZA ∑ xi2. fi 99973,54 V = -------------- -- x2 = -------------- -- 9,99812 = 99,9735 – 99,9620 = 0,0115 ∑ fi 1000 DESVIACIÓN TÍPICA S=√ 0,0115 = 0,1072  x – s = 9,8909 ,, x + s = 10,1053 El 68% de los tornillos fabricados miden entre 9,89 y 10,10 mm COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 0,1072 / 9,9981 = 0,01075  1,07 % DESVIACIÓN MEDIA ∑ |xi-x|. fi 85,1050 Dm = -------------- = ------------ = 0,0851 ∑ fi 1000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_4 Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua. xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) fi.xi fi.xi2 0,10 2 0,08 8 0,20 0,02 0,30 6 0,24 24 32 1,80 0,54 0,50 9 0,36 36 17 68 4,50 2,25 0,70 5 20 22 88 3,50 2,45 0,90 3 0,12 12 25 100 2,70 2,43 1 12,70 7,69 DESVIACIÓN TIPICA S = √V =√0,0576 = 0,24 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 0,24 / 0,50 = 0,48 Media : 0,5 VARIANZA 7,69 V = --------- – 0,5 2 = 0,0576 25 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_5 Resultados de un test. xi fi hi hi(%) Fi Hi(%) xi.fi fi xi 2 17 0,2125 21,25 1 8 0,10 10 25 31,25 2 27 0,3375 33,75 52 65 54 108 3 69 86,25 51 153 4 9 0,1125 11,25 78 97,50 36 144 5 0,025 2,5 60 100 50 80 159 463 Media: 2 VARIANZA s = √V =√1,78 = 1,34 VARIANZA 463 V = ------ – 22 = 1,7875 80 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s/x = 1,34 / 2 = 0,67 = 67 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_6 Calificaciones de 200 alumnos de una clase en Matemáticas Clases m.c. ni fi fi(%) Ni Fi(%) ni.xi ni.xi2 [0 , 2] 1 15 0,075 7,50 (2 , 4] 3 50 0,250 25 65 32,50 150 450 (4 , 6] 5 75 0,375 37,50 140 70 375 1875 (6 , 8] 7 40 0,20 20 180 90 280 1960 (8 , 10] 9 0,10 10 200 100 1620 1000 5920 ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota entre 6 y 8 puntos?  40 ¿Cuántos alumnos han obtenido una nota de hasta 6 puntos?  140 ¿Qué porcentaje de alumnos han obtenido entre 8 y 10 puntos?  10 % ¿A cuantos alumnos corresponde una frec. acumulada del 70 %?  75 ¿Cuál es la frec. relativa correspondiente a un peso de 150 puntos?   0,25 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_7 Nos dan, en una tabla, el peso en gramos de 80 insectos. clases m.c. fi hi hi(%) Fi Hi(%) fi.xi fi xi 2 [1 , 3] 2 33 0,4125 41,25 66 132 (3 , 5] 4 12 0,15 15 45 56,25 48 192 (5 , 7] 6 0,1875 18,75 60 75 90 540 (7 , 9] 8 20 0,25 25 80 100 160 1280 1 364 2144 ¿Cuántos insectos han obtenido un peso entre 5 y 7 gramos?  15 ¿Cuántos insectos han obtenido un peso de hasta 5 gramos?  45 ¿Qué porcentaje de insectos han obtenido entre 3 y 5 gramos?  15 % ¿A cuantos insectos corresponde una frecuencia acumulada del 75 %?  60 ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a un peso de 90 gramos?  0,1875 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_8 Valoración de un político en una encuesta. clases xi = m.c. fi hi % xi fi fi.|xi – x| fi.xi2 [0,0 , 2,5] 1,25 160 20 200 560 250 (2,5 , 5,0] 3,75 240 30 900 3375 (5,0 , 7,5] 6,25 320 40 2000 480 12500 (7,5 , 10,0] 8,75 80 10 700 6125 800 100 3800 1600 22250 ¿Cuántas personas lo han valorado desfavorablemente?  20+30 ¿Cuántas personas lo han valorado de 7,5 a 10 puntos  80 ¿Qué porcentaje de personas lo han valorado 2,5 y 5 puntos?  30 % ¿A cuantos votantes corresponde una frecuencia del 40 %?  320 ¿A qué frecuencia relativa corresponde un peso de 900 puntos?  30 % ¿Cuántos votantes presentan la máxima desviación respecto a la media?  160, que son aquellos cuya desviación es de 560 puntos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN EJEMPLO_8 MEDIA ∑ xi.fi 3800 x = ---------- = ------- = 4,75 ∑ fi 800 VARIANZA ∑ xi2. fi 22250 V = -------------- -- x2 = ----------- -- 4,752 = 27,8125 – 22,5625 = 5,25 ∑ fi 800 DESVIACIÓN TÍPICA S=√ 5,25 = 2,29  x – s = 2,46 ,, x + s = 7,04 El 68% de los encuestados lo han valorado entre 2,46 y 7,04 puntos COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 2,29 / 4,75 = 0,48  48 % MODA MEDIANA Mo = 6,25 Md = 5 DESVIACIÓN MEDIA ∑ |xi-x|. fi 1600 Dm = -------------- = -------- = 2 ∑ fi 800 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I