MEP- II

Conf. # 9.- Diseño de experimentos (DE) Sumario Introducción. Objetivos del diseño estadístico de experimentos. Conceptos básicos asociados al DE. Algunos tipos de diseños de experimentos. Diseños completamente aleatorizado (ANOVA). Comparaciones múltiples. Procedimiento de Tukey.

Bibliografía Walpole. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Capítulo 13. Epígrafe 13.1, 13.2, 13.3, 13.4 y 13.6 Materiales en la red El diseño de experimentos. Problemas de análisis de varianza.

¿Por qué se experimenta? El análisis de cualquier conjunto de datos está gobernado por la manera en la cual se obtuvieron los datos. El propósito de la experimentación es obtener datos con información útil. La eficiencia de la investigación puede ser definida como la cantidad de información útil obtenida por unidad de costo. Una técnica utilizada para aumentar esta eficiencia, es la del diseño estadístico de los experimentos (DE).

¿QUÉ ES EL DISEÑO ESTADÍSTICO DE EXPERIMENTOS? Es el proceso de planear un experimento para obtener datos apropiados, que pueden ser analizados mediante métodos estadísticos, con el objeto de obtener conclusiones válidas y objetivas.

Modelo general de un proceso Variables controlables x1 x2 … xk PROCESO Salida Entradas y z1 z2 … zt Variables incontrolables

Experimento planeado Es una prueba o serie de pruebas en las cuales se inducen cambios deliberados en los factores que presuntamente inciden sobre un proceso con el fin de observar e identificar las causas de los cambios en la respuesta de salida.

Conceptos asociados al DE FACTOR: término que denota la variable independiente, o variable de proceso controlable, el cual se mantiene fijo a un valor prescrito durante la prueba. (cuantitativos y cualitativos) NIVEL: valor fijo que toma el factor durante la prueba. TRATAMIENTO: cuando se trata de un solo factor tiene el mismo significado del nivel, cuando hay más de un factor es la combinación de los niveles de los factores.

Conceptos asociados al DE (continuación) RESPUESTA: término que denota la variable dependiente, es el valor observado al terminar una corrida. CORRIDA EXPERIMENTAL O UNIDAD EXPERIMENTAL: prueba llevada a cabo a niveles fijos de los factores. Cada corrida produce un valor de la respuesta.

Conceptos asociados al DE (continuación) EFECTO de un factor: es el cambio en la respuesta a medida que nos movemos de un nivel a otro de ese factor. EFECTO PRINCIPAL: mide el efecto promedio de un factor sobre todas las condiciones de los otros factores. INTERACCION: es un efecto adicional debido a la influencia combinada de dos (o más) factores.

Principios Básicos del DE Réplicas.- Repetición del experimento básico. permite obtener una estimación del error experimental. permite calcular una estimación más precisa del efecto de un factor Aleatorización.- Tanto la asignación del material experimental como el orden en que se realizan las pruebas se determinan aleatoriamente. fundamenta el uso de los métodos estadísticos en el DE. ayuda a “cancelar” los efectos de factores extraños. Bloques.- Porción del material experimental que es más homogénea que el total del material. incrementa la precisión del experimento.

PROCEDIMIENTO Formular el problema Selección de la variable respuesta Elección de factores y niveles Elección del diseño experimental Realización del experimento Análisis de datos Conclusiones y recomendaciones

Objetivos de un DE Determinar cuáles de los factores tienen mayor influencia en la respuesta Determinar el mejor valor de los factores que influyen en la respuesta de modo que esta tenga un valor cercano al valor nominal deseado Determinar el mejor valor de los factores que influyen en la respuesta de modo que su variabilidad sea pequeña Determinar el mejor valor de los factores que influyen en la respuesta de modo que se minimicen los efectos de los factores incontrolables

¿Para que se utiliza el DE? Caracterización de un proceso Optimización o mejora de un proceso Diseño de un producto

Tipos DE que estudiaremos Diseño Completamente al azar (DCA) Diseño en Bloques al azar (DBA) Diseños factoriales a varios niveles Diseños factoriales a dos niveles (2k)

Diseño Completamente al azar (DCA) Es un diseño muy simple, se pretende estudiar el efecto de un solo factor sobre la respuesta. El resto de los factores, que de alguna manera pudieran afectar el comportamiento de la respuesta, son aleatorizados, asumidos aleatorios o controlados a un solo nivel. ANOVA de un factor de clasificación MINITAB: Stat > ANOVA > One-way

Comprensión de la situación Supongamos que se seleccionaron 9 trabajadores para darles cierta cantidad de instrucción para la realización de cierta tarea. Se midió después el tiempo que tardaron en ejecutarla. Mínima Moderada Extensa 39 25 24 34 18 20 35 23 16 Media=36 Media=22 Media=20 Efecto=+10 Efecto= 4 Efecto= 6 Media general = 26 26+10+3 264+3 266+4 26+102 2644 266+0 26+101 264+1 2664

Diseño Completamente al azar (DCA) Modelo general: Yij =  + j + ij donde j = 1, 2, …, k y i = 1, 2, …, n Tenemos dos tipos de variabilidad: Entre grupos (debida al factor) Dentro grupos (debida a la aleatoriedad). Para poder afirmar que el factor produce efecto, la variabilidad entre grupos ha de ser significativamente mayor respecto a la dentro grupos.

PLANTEMIENTO H0: 1=2=…=k H1: al menos dos diferentes o de otra manera H0 : j = 0 H1: Algún j ≠ 0 Si se Rechaza H0 podemos decidir que al menos dos medias son diferentes, o lo que es equivalente, algún efecto es distinto de cero.

DESCOMPOSICIÓN DE LA VARIABILIDAD TOTAL Variabilidad Variabilidad debida a Variabilidad Total en los = diferencias entre + residual Datos niveles del factor (SCT) (SCFactor ) (SCRes)

Datos tabulados para un DCA Niveles del Factor 1 2 … k Y11 Y12 Y1k Y21 Y22 Y2k . n Yn1 Yn2 Ynk

Tabla ANOVA H0 : j = 0 H1: Algún j ≠ 0 RC: F > F;k-1;k(n-1) Fuente GL SC CM F p Factor k - 1 SCFac CMFac CMFac/CMRes Residuos k(n – 1) SCRes CMRes Total nk - 1 SCT H0 : j = 0 H1: Algún j ≠ 0 RC: F > F;k-1;k(n-1)

Supuestos para el Análisis de Varianza Normalidad de los datos Se comprueba con una prueba de distribución normal como la de Kolmogorov-Smirnov. Homogeneidad de varianza Se comprueba mediante las pruebas de razón de varianzas de Cochran, Barlett, Levene, etc. Observaciones independientes (aleatoriedad) Se logra al concebir el diseño del experimento

UN EJEMPLO.- Yij: productividad Procedimiento A B C 2.6 3.2 2.5 3.1 3.5 2.7 3.4 Media general = 2.875 Media A = 2.7 Media B = 3.3 Media C = 2.625 ¿SCT? ¿SCProc?

Cálculo de las suma de cuadrados SCT = (2.6 – 2.875)2 + (2.5 – 2.875)2 + … + (2.7 – 2.875)2 = 1.443 SCProc = 4(2.7 – 2.875)2 + 4(3.3 – 2.875)2 + + 4(2.625 – 2.875)2 = 1.095 SCRes = SCT – SCProc = 0.348

¿Cuáles son diferentes? Tabla ANOVA Fuente GL SC CM F p Proc 2 1.095 0.548 14.05 Residuos 9 0.348 0.039 Total 11 1.443 H0 : j = 0 H1: Algún j ≠ 0 RC: F > F0,05;2;9 14.05 > 4,26  hay evidencias para rechazar H0. Al menos dos procedimientos difieren en el promedio de productividad lograda. ¿Cuáles son diferentes?

Comparaciones múltiples Se aplican si se rechaza H0. Métodos de comparaciones múltiples Tukey Bonferroni LSD Otros

Método de Tukey Forma IC de 100(1-)% simultáneos para todas las comparaciones pareadas Donde K* se busca en tabla y es una función de , k (niveles del factor) y grados de libertad de la SCRes Si el IC no contiene al cero, hay diferencia entre las medias de los niveles que se comparan

Solución del ejemplo con MINITAB Stat > ANOVA > One-way One-way ANOVA: Productividad versus Proc Source DF SS MS F P Proc 2 1.0950 0.5475 14.18 0.002 Error 9 0.3475 0.0386 Total 11 1.4425 S = 0.1965 R-Sq = 75.91% R-Sq(adj) = 70.56%

Stat > ANOVA > One-Way > Comparisons IC de Tukey con MINITAB Stat > ANOVA > One-Way > Comparisons Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons among Levels of Proc Individual confidence level = 97.91% Proc = A subtracted from: Proc Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+- B 0.2119 0.6000 0.9881 (-----*-----) C -0.4631 -0.0750 0.3131 (------*-----) --------+---------+---------+---------+- -0.60 0.00 0.60 1.20 Proc = B subtracted from: Proc Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+- C -1.0631 -0.6750 -0.2869 (------*-----) -0.60 0.00 0.60 1.20

Estudio independiente Estudiar los epígrafes señalados en la bibliografía. El 13.4 totalmente independiente. Resolver el ejercicio # 5, página 473. Si hay diferencias concluya cuál nivel de altura sería el más conveniente.