En el campo de la ingeniería civil resulta extraño el concepto de “diseño de experimentos”. Lo asociamos generalmente al campo de control de la calidad.

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2 En el campo de la ingeniería civil resulta extraño el concepto de “diseño de experimentos”. Lo asociamos generalmente al campo de control de la calidad y de los laboratorios, haciendo uso de la tecnología avanzada en productividad, mejora de procesos, toma de decisiones y productividad empresarial se basan en este campo del control estadístico de la calidad.

3 DISEÑO DE EXPERIMENTOS Es una técnica estadística que permite identificar y cuantificar las causas de un efecto dentro de un estudio experimental de forma que, con el mínimo número de pruebas se consiga extraer información útil para obtener conclusiones que permitan optimizar la configuración de un proceso o producto.

4 Una vez realizadas las pruebas, los resultados obtenidos permiten extraer conclusiones acerca de qué factores influyen más en los resultados y cómo se debe configurar nuestra actividad para alcanzar los objetivos propuestos.

5 El diseño experimental El diseño experimental es la técnica que permite agrupar o arreglar el material experimental u objeto de la investigación en unidades experimentales a las que se asigna aleatoriamente los tratamientos o estímulos y en las que se realizan las observaciones que se van a recolectar. El diseño experimental es la técnica que permite agrupar o arreglar el material experimental u objeto de la investigación en unidades experimentales a las que se asigna aleatoriamente los tratamientos o estímulos y en las que se realizan las observaciones que se van a recolectar. El experimentoEl experimento Proporciona respuestas a una o mas preguntas y los investigadores deciden que comparaciones de tratamientos proporcionara información relevante, y realizan experimentos para probar hipótesis sobre las diferencias entre tratamientos.

6 Un experimento es como una búsqueda planteada para obtener nuevos conocimientos o para verificar o confirmar o no los resultados de experimentos previos que ayuden a la toma de decisiones, tales como las recomendaciones de una resistencia del pavimento, tipos de cantera, rendimientos, concentraciones, etc. Un experimento es como una búsqueda planteada para obtener nuevos conocimientos o para verificar o confirmar o no los resultados de experimentos previos que ayuden a la toma de decisiones, tales como las recomendaciones de una resistencia del pavimento, tipos de cantera, rendimientos, concentraciones, etc. UNIDAD EXPERIMENTAL. UNIDAD EXPERIMENTAL. Material u objeto sobre la cual se aplica los tratamientos en estudio.

7 TRATAMIENTO TRATAMIENTO Viene a ser la variable independiente que intencionalmente es manipulada por el investigador, constituye el estimulo cuyo efecto se mide en la variable dependiente y se compara con otros tratamientos. Viene a ser la variable independiente que intencionalmente es manipulada por el investigador, constituye el estimulo cuyo efecto se mide en la variable dependiente y se compara con otros tratamientos. TESTIGO TESTIGO Sujeto o tratamiento de comparación. Al realizar un experimento se debe incluir un testigo para medir el resultado del experimento. Sujeto o tratamiento de comparación. Al realizar un experimento se debe incluir un testigo para medir el resultado del experimento.

8 ERROR EXPERIMENTAL ERROR EXPERIMENTAL Mide la variación existente entre observaciones sobre unidades experimentales tratadas en forma similar, también se dice que describe el fracaso de llegar a resultados idénticos con unidades experimentales tratadas idénticamente Mide la variación existente entre observaciones sobre unidades experimentales tratadas en forma similar, también se dice que describe el fracaso de llegar a resultados idénticos con unidades experimentales tratadas idénticamente

9 REPLICA O REALIZACION DE REPLICAS REPLICA O REALIZACION DE REPLICAS - Obtener una estimación del error experimental, a fin de determinar si las diferencias observadas en los datos son en realidad estadísticamente diferente. - Obtener una estimación del error experimental, a fin de determinar si las diferencias observadas en los datos son en realidad estadísticamente diferente. - Permite obtener una estimación mas precisa de los efectos de los tratamientos o factores en estudio, con un mayor número de repeticiones. - Permite obtener una estimación mas precisa de los efectos de los tratamientos o factores en estudio, con un mayor número de repeticiones. - En la repetición se reflejan las fuentes de variabilidad entre tratamiento como dentro de las mismas. - En la repetición se reflejan las fuentes de variabilidad entre tratamiento como dentro de las mismas.

10 CONTROL DEL ERROR CONTROL DEL ERROR Es la reducción del error experimental, mediante el control de las influencias externas como las ambientales que afectan la variabilidad del material experimental. Es la reducción del error experimental, mediante el control de las influencias externas como las ambientales que afectan la variabilidad del material experimental. ALEATORIZACION ALEATORIZACION La asignación del material experimental como el orden en que se realizarán las corridas o ensayos individuales del experimento se determinan al azar La asignación del material experimental como el orden en que se realizarán las corridas o ensayos individuales del experimento se determinan al azar INFERENCIA ESTADISTICA INFERENCIA ESTADISTICA Va a permitir determinar si existen diferencias entre las medias de los tratamientos y estimar la magnitud de tales diferencias. Va a permitir determinar si existen diferencias entre las medias de los tratamientos y estimar la magnitud de tales diferencias.

11 El objetivo es determinar si existe un diferencia significativa entre los tratamientos, para lo cual se compara si la “varianza del tratamiento” contra la “varianza del error” y se determina si la primera es lo suficientemente alta según la distribución F El diseño completamente al azar es un prueba basada en el análisis de varianza, en donde la varianza total se descompone en la “varianza de los tratamientos” y la “varianza del error”.

12 VENTAJAS El diseño completamente al azar es flexible cuando el numero de tratamientos y de repeticiones solo esta limitado por el numero de unidades experimentales disponibles. El numero de repeticiones puede variar de un tratamiento a otro, aunque lo ideal seria tener un numero igual por tratamiento.

13 VENTAJAS El análisis estadístico es simple aun en el caso en que el numero de repeticiones diera con el tratamiento. El numero de grados de libertad para estimar el error experimental es máximo; esto mejora la precisión del experimento y es importante con experimentos pequeños, o sea, en aquellos en los que los grados de libertad para el error experimental son menos de 20.

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15 Xij = µ+Ti + EijXij = µ+Ti + Eij i=1,2……,t j=1,2………,n i=1,2……,t j=1,2………,n Donde : Xij : observación j esima del tratamiento i esimo Xij : observación j esima del tratamiento i esimo µ : media general o global µ : media general o global Ti : efecto del i- esimo tratamiento Ti : efecto del i- esimo tratamiento Eij : error aleatorio Eij : error aleatorio

16 En los modelos teóricos en los que se basa el análisis de varianza se plantean 4 supuestos( Little y hills, 1998 y Steel y torrie, 1993) a)Normalidad : Las desviaciones del supuesto de normalidad no afecten la validez del análisis de varianza. Existen pruebas de normalidad, pero resulta bastante útil aplicarlas, a menos que el numero de muestras sea grande.

17 b) Homogeneidad de varianzas La condición previa de homogeneidad de varianzas (denominada homoestacidad) es sin duda la mas importante; se analiza por medio de la prueba de Bartlett y leven. Si el resultado nos lleva a rechazar tal supuesto. Entonces deberemos someter los datos a un proceso de transformación. b) Homogeneidad de varianzas La condición previa de homogeneidad de varianzas (denominada homoestacidad) es sin duda la mas importante; se analiza por medio de la prueba de Bartlett y leven. Si el resultado nos lleva a rechazar tal supuesto. Entonces deberemos someter los datos a un proceso de transformación.

18 c) Independencia de medias y varianzas: En la practica, los tratamientos se asignan aleatoriamente a las unidades experimentales, y el efecto del proceso de aleatorización es hacer que los errores sean independientes unos a otros.

19 d) Aditividad una forma común de no Aditividad se presenta cuando los efectos son multiplicativos. Cuando esto ocurre, la transformación, de los datos manifiestan los efectos de manera aditiva, y entonces es apropiado un análisis de varianza con los datos transformados, lo que implica que los errores experimentales se distribuyan normal e independientemente en la escala transforma.

20 ENUNCIADO AFIRMACIÓN ACERCA DE LOS PARÁMETROS DE UNA POBLACIÓN HIPÓTESIS ESTADÍSTICA PRUEBA ESTADÍSTICA ESTABLECE LA ACEPTACIÓNRECHAZO DE TALES HIPÓTESIS.

21 Para probar una hipótesis, se debe calcular una prueba estadística apropiada, para después aceptar o rechazar la hipótesis nula (ho), a un nivel de significación determinado.

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23 C uando se tienen dos o mas tratamientos, se utiliza el estadístico F de Fisher conocida como método del análisis de varianza. El método consiste en separar de la variación total observada, las diferentes causas o factores de variación que influyen en cualquier experimento y que afectan en distinto grado el efecto de los tratamientos. C uando se tienen dos o mas tratamientos, se utiliza el estadístico F de Fisher conocida como método del análisis de varianza. El método consiste en separar de la variación total observada, las diferentes causas o factores de variación que influyen en cualquier experimento y que afectan en distinto grado el efecto de los tratamientos.

24 A FIN DE SEPARAR LAS DIVERSAS CAUSAS DE VARIACIÓN SE SIGUE EL MÉTODO SIGUIENTE: a)Separar los grados de libertad (g.l.) para cada factor o causa de variación. b)Calcula la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media para cada causa de variación. c)Calcular las varianzas o cuadrados medios para cada factor de variación. d)Probar hipótesis por medio de la prueba de F o relación de varianzas. e)Comparar las medias de los tratamientos.

25 FUENTES DE VARIACION SUMA DE CUADRADOS g.l CUADRADOS MEDIOS F calculado  Tratamiento∑x²i./n-x²./ntT-1SCT/g.l TCMT/CME  Error[∑X²ij-x²../nt - ∑x²i./n-x²./nt] T(n-1)SCE/g.l E  Total∑x²ij - x²../nt nt - 1

26 Ejemplo de análisis de varianza con igual numero de repeticiones: a)Tratamientos b)Distribución de tratamientos c)Características del tratamiento d)Hipótesis estadística e)Cálculos estadísticos 1 2 3

27  En una obra deseamos determinar si cuatro dosificaciones de un hormigón T 0, T 1, T 2 y T 3 presentan una misma resistencia característica a compresión. Para ello se han elaborado 5 probetas para cada tipo de dosificación y, a los 28 días, se han roto las probetas a compresión simple y los resultados son los que hemos recogido en la tabla que sigue. TRATAMIENTOS: T 0 : sin pre amasar (testigo) T 1 : 7 días de pre amasado T 2 : 14 días de pre amasado T 3 : 28 días de pre amasado

28 DISTRIBUCIÓN DE TRATAMIENTOS T0T0 T1T1 T2T2 T3T3 T2 T0T0 T0T0 T1T1 T3T3 T1T1 T1T1 T2T2 CARACTERÍSTICAS DEL EXPERIMENTO  Numero de tratamientos: 04  Numero de repeticiones: 05  Numero de unidades experimentales: 20 cada unidad experimental. T3 T1T1

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30  TABLA 1: DOSIFICACIÓN DE HORMIGÓN, RESISTENCIA CARACTERÍSTICA A COMPRESIÓN FCK (MPA).  n = 5  T = 4  n = 5  T = 4 N° MUESTRA DOSIFICACION DE HORMIGON T0T0 T1T1 T 2 T 3 142456456 239466155 348455062 443395559 5 44435860 216218288292 MEDIA Xi43.243.657.658.4

31  Total = X = 216 + 218 + 288 + 292 = 1014  Promedio general = x./(n* t) = 1014/ 5* 4 = 50.7% E) CÁLCULOS ESTADÍSTICOS: 1.- FACTOR DE CORRECCIÓN (FC) Fc = (1014) 2 /(5 *4) Fc = 51409.8 Fc = x 2 / n*t

32 2.- SUMA DE CUADRADOS (SC)  Suma de cuadrado total (SC Total) SC Total= [(42) 2 +(39) 2 +(48) 2 …(60) 2 ] – 51409.8 SC Total= 1292.2 este valor va en el cuadro SCT = ∑ x 2 j - Fc

33  SUMA CUADRADO DE TRATAMIENTOS (SCT) SCT = [ (216) 2 +(218) 2 +(288) 2 + (292) 2 /5] – 51409.8 SCT = 1067.8 este valor va en el cuadro  SUMA CUADRADO ERROR (SCE) SCE =1292.2 – 1067.8 SCE =224.4 SCT = (∑ x 2 /n) - Fc SCE = SC Total – SCT de los dos valores calculados en el cuadro

34 3.- CALCULO DE CUADRADOS MEDIOS (CM)  CUADRADO MEDIO DE TRATAMIENTOS ( CMT) CMT = 1067.8 /3 CMT = 355.93  CUADRADO MEDIO DEL ERROR ( CME) CME= 224.4 / 4 (5 -1) CME= 14.25 CMT = SCT/gl. T CME = SCE/gl. E

35 4.- F CALCULADO (Fc) Fc = 355.93 / 14.24 Fc = 24.99 Fc = CMT/CME

36 FUENTES DE VARIACION SUMA DE CUADRADOS glCUADRADOS MEDIOS F calculadoF tabulado α 0.05 Tratamientos 1067.8 T-1 =3 355.9324.99 3.24 Error 221.4 T(n -1) =16 14.25 Total1292.2n * t-1 = 19 TABLA2: Análisis de varianza de la dosificación del hormigón

37 5.- F TABULADO ( F 0.05 ) Con un nivel de significación α 0.05 para 3 gl de tratamientos de 16 gl del error experimental, el valor teórico es igual a F 0.05 (4) = 3.24 6.- Interpretación de la tabla de análisis de varianza Del análisis de varianza ;con un valor Fc= 46.345 ; gl 1 = 3, gl 2 = 16 y Ft = 3,24 ; se observa que existe diferencia estadística significativa entre las medias de los tratamientos aun nivel de significación α 0.05,por lo que existe evidencia para el rechazo de la igualdad de medias, es decir, que la resistencia media se ve afectada por la dosificación. Sin embargo, las cuatro dosificaciones no son igual de efectivas, pues existen diferencias significativas entre las resistencias medias de cada una de ellas.

38  COEFICIENTE DE VARIACIÓN: C.V. =( √CME /promedio general) * 100 C.V. =(√14.25 /50.7 ) * 100 C.V. =7.44 %  El valor hallado indica que los datos son confiables y hay una buena dosificación del hormigón en el experimento, la variación de las observaciones de las unidades dosificadas experimentadas dentro de cada tratamiento fue mínima.

39 En el análisis de varianza se utilizo la prueba de F,para probar las diferencias entre tratamientos. Cuando se tienen varios tratamientos,es necesario hacer la comparación de las medias de los tratamientos, a fin de seleccionar o discriminar variables y clasificar los tratamientos para elegir el mejor. La prueba F significativa indica que la variabilidad entre los tratamientos no se debe al azar, sino a un efecto diferente a cada uno de los tratamientos, por lo tanto las diferencias son significativas entre las medias de las poblaciones, estimadas por las medias de las muestras ;sin embargo la prueba F no indica cuales medias son iguales o cuales son diferentes.

40  Si se rechaza la hipótesis nula mediante la prueba F, entonces el investigador se preguntara sobre las posibles diferencias debidas a diferentes tiempos de muestras o tratamientos.  Con los datos de análisis de varianza se hacen las pruebas de significancia de las diferencias o las comparaciones entre las medidas de los tratamientos, A continuación se desarrollan las pruebas mas comúnmente utilizadas en investigaciones.

41 Esta prueba se aplica cuando F es significativa, cuando las comparaciones entre medias son independientes. Para realizar las comparaciones múltiples, se calcula una diferencia mínima significativa común (D.M.S),con siguiente formula: D.M.S= Tά(gl del error )√2CME/n

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43 Se emplea para hacer todas las comparaciones múltiples que son posibles con t tratamientos, se aplica, cuando F es significativa.El procedimiento consiste en calcular un valor teórico común o diferencia mínima significativa, mediante la siguiente formula(calzada 1980). A.L.S. (T)=W =qά(p1,n2)√CME/n

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45 Esta prueba se conoce prueba de student o “modificado ; se usa el valor de “t” tabulado por Duncan para ά 0,05 y ά 0.01 y para n2g.l. del error experimental,no requiere que la prueba de la F resulte significativa (calzada 1980);se calcula la amplitud limite de significación de Duncan mediante la siguiente formula : A.L.S. (D)=Tά0,05 √CME/n

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50  Esta prueba debe aplicarse cuando la prueba de F en el análisis de varianza resulte, caso contrario, ninguna prueba prueba de contraste seria significativa, por lo que se recomienda no hacerla. El valor d la amplitud limite de significación d scheffe A,L,S (S) se calcula con la siguiente formula : ALS (S)=√(t-1)Fά(t-1,n29CME/n

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54  Cuando las muestras tienen un numero desigual de sub muestras o repeticiones, el análisis básico es similar al diseño completamente al azar con igual numero de repeticiones.

55 EJEMPLO

56 DISEÑO DE EXPERIMENTOS POR BLOQUES COMPLETOS AL AZAR  El diseño en bloques completos al azar trata de comparar tres fuentes de variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloques y el error aleatorio. El adjetivo completo se refiere a que en cada bloque se prueban todos los tratamientos. La aleatorización se hace dentro de cada bloque.

57  Determinar si cuatro laboratorios miden la misma resistencia característica del hormigón a compresión. Para ello se han considerado 5 amasadas diferentes que han sido analizadas por cada uno de los laboratorios. A los 28 días, se han roto las probetas a compresión simple y los resultados son los que hemos recogido en la tabla que sigue.

58 AMASADA 12345 Laboratorio 163,563,262,365,665,0 Laboratorio 264,164,263,064,264,9 Laboratorio 365,965,063,966,065,8 Laboratorio 464,965,264,165,967,9

59  En este caso, la variable de respuesta es la resistencia característica del hormigón a compresión (MPa), el factor es el laboratorio (4 niveles), el bloque es la amasada (no son objeto directo de motivo del estudio). Por otra parte, se considera que no existe interacción entre el laboratorio y la amasada (factor y bloque).  En este tipo de experimento, la medición será el resultado del efecto del tratamiento (laboratorio) donde se encuentre, del efecto del bloque al que pertenece (amasada) y de cierto error que se espera que sea aleatorio. La hipótesis de que las medias son iguales se va a analizar con el análisis de la varianza, con dos criterios de clasificación.

60  A parte de lo supuesto de normalidad, igualdad de varianzas y de independencia, aquí se añade otro que es que no existe interacción entre el factor y el bloque.  Para los curiosos, después de haber analizado los datos, diremos que en este caso, con una seguridad del 95%, se aprecian diferencias significativas entre las resistencias medidas por los laboratorios 1 y 3, entre los laboratorios 1 y 4, y entre los laboratorios 2 y 4.

61 N° MUESTRA LABORATORIOS T1T2 T3 T4 T5 163.563.262.365.665 264.164.26364.264.9 365.96563.96665.8 464.965.264.165.967.9 258.4257.6253.3261.7263.6 MEDIA Xi64.664.463.32565.42565.9  n = 4  T = 5  n = 4  T = 5 Determinar si cuatro laboratorios miden la misma resistencia característica del hormigón a compresión.

62  Total = X = 258.4 +257.6+ 253.3 +261.7 +263.6 =1294.6  Promedio general = x/(n* t) = 1294.6/ 4* 5 = 64.73% CÁLCULOS ESTADÍSTICOS: 1.- FACTOR DE CORRECCIÓN (FC) Fc = (1294.6) 2 / (4*5) Fc = 83799.46 Fc = x 2 / n*t

63 2.- SUMA DE CUADRADOS (SC)  Suma de cuadrado total (SC Total) SC Total= ((63.5) 2 +(64.1) 2 +(65.9) 2 ……… (67.9) 2 ) – 83799.46 SC Total= 31.52 SCT = ∑ 2 j - Fc

64  SUMA CUADRADO DE TRATAMIENTOS (SCT) SCT = [ (258.4) 2 +(257.6) 2 +(253.3) 2 + (261.7) 2 + 263.6) 2 /4] – 83799.46 SCT = 15.81  SUMA CUADRADO ERROR (SCE) SCE =31.52 –15.81 SCE =15.71 SCT = (∑ 2 /n) - Fc SCE = SC Total - SCT

65 3.- CALCULO DE CUADRADOS MEDIOS (CM)  CUADRADO MEDIO DE TRATAMIENTOS ( CMT) CMT = 15.81 /4 CMT = 3.95  CUADRADO MEDIO DEL ERROR ( CME) CME= 15.71/4(3) = 1.31 CME = SCE/gl. E CMT = SCT/gl. T

66 4.- F CALCULADO (Fc) Fc = 3.95 / 1.31 Fc = 3.02 Fc = CMT/CME

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