RELACIONES Prof. M.Alonso {(1,2), (2,5), (3,4)}

Objetivos Reconocer una relación. Trazar la gráfica de una relación. Identificar la variable independiente y la dependiente.

Relación El concepto de RELACIÓN gira alrededor del concepto de correspondencia o asociación. Veamos estos ejemplos A cada día se le asocia la temperatura máxima y la mínima. A cada artículo del supermercado se le asocia un precio. A cada persona que trabaja le corresponde un salario mensual. Cada estudiante obtiene varias notas al finalizar el semestre A cada persona se le asocia sus amigos.  

Relación . Intuitivamente, una relación asocia dos cantidades Observe que los ejemplos anteriores muestran una asociación entre dos cantidades. Es sumamente importante establecer asociaciones entre diversos tipos de fenómenos, puesto que una vez que se conoce la correspondencia, se pueden hacer predicciones.

El concepto de relación se basa en el concepto de conjunto. Recuerde que al principio del curso estudiamos el concepto de conjunto, o sea, una colección de objetos, personas o números. Recuerde también que a los miembros del conjunto se les llama elementos. Con estas definiciones podemos definir formalmente el concepto de relación.  

Definición Una relación consiste de dos conjuntos y una regla de correspondencia, tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno o más elementos en el segundo conjunto. El primer conjunto se conoce con el nombre de dominio y el segundo conjunto se llama el alcance.

Ejemplo Considere un supermercado. En él usted encuentra miles de productos. Una posible relación es asignarle a cada producto su precio. El dominio consiste del conjunto de todos los productos que vende el supermercado. El alcance es el conjunto de números positivos, en símbolos, el intervalo (0,) .

Relación ¿Qué productos vende el supermercado? Aceite, sal, mantequilla, etc. Podemos utilizar la variable P para identificar los diferentes productos que hay en el supermercado. Esta variable es la variable independiente. El conjunto de todos los productos es el dominio.

Relación Podemos usar la variable d para representar el costo del producto, o sea el precio. El conjunto de todos los posibles precios es el alcance.

Representación en un diagrama del ejemplo anterior. DOMINIO ALCANCE Productos Números positivos Regla ¿Cuál es la regla? La regla es asociar con cada producto su precio.

Observe que el ejemplo anterior se puede representar también en una tabla. Variable independiente Variable dependiente Productos Precio Azúcar 0.89/lb Aceite 2.37 Sal 0.67 Uvas 2.95/lb Crayolas 0.79 ALCANCE DOMINIO

Ejemplo Usando el supermercado nuevamente podemos hallar otra relación: a cada producto asígnele su código. DOMINIO Productos ALCANCE Códigos que consisten de 10 números del 0 al 9. Regla A cada producto asígnele su código.

Ejemplo Considere la siguiente situación: Los estudiantes matriculados en este curso. Una posible relación es asociar con cada persona su número de estudiante. El Dominio consiste de los nombres de los estudiantes y el Alcance es el conjunto de números de estudiantes.

Relación Las relaciones que estudiaremos en este curso son aquellas que el dominio es un conjunto de números y el alcance también es un conjunto de números. Observaremos que muchos de los fenómenos estudiados en las Ciencias Naturales y en Administración de Empresas son relaciones.

Relación Ejemplo: Con cada día del mes, la bolsa de valores alcanza un valor máximo y un valor mínimo. Ejemplo: Si usted toma cualquier medicamento, con cada hora se asocia la cantidad de miligramos del medicamento en la sangre.

Relación Hay otros ejemplos que son más matemáticos. Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo A cada número entero positivo asígnele su cuadrado. Número TABLA Número Entero positivo. Cuadrado 1 2 4 3 9 16 5 25 DOMINIO ALCANCE

Observaciones (2,4) (3,9) Cuadrados Cada vez que establecemos una relación, se forman pares ordenados. En los ejemplos anteriores tenemos: (Aquafresh,1.49) (Pan Holsum, 1.54) Supermercado (2,4) (3,9) Cuadrados

Par ordenado ¿Qué es un par ordenado? Un par ordenado consiste de dos números, por eso se llama par. Se le llama ordenado porque siempre el primer número proviene del dominio y el segundo número proviene del alcance. El símbolo que se utiliza es los dos números encerrados en un paréntesis, (a, b)

Observación En otra unidad anterior estudiamos el símbolo (2, 3). ¿Qué representaba?

Podemos concluir que (x,y) Una relación es un conjunto de pares ordenados En el par ordenado la primera coordenada representa un elemento del dominio y la segunda coordenada representa un elemento del alcance. Generalmente usamos la variable x para representar un elemento del dominio. Para representar un elemento del alcance usamos y. (x,y) Representa un elemento del alcance. Representa un elemento del dominio.

Observaciones Cuando las situaciones tienen que ver con números es decir, si tanto el dominio como el alcance son conjuntos de números, entonces podemos representar una relación de tres maneras diferentes: Medinte una gráfica mediante una fórmula o ecuación En forma de tabla.  

Gráficas ¿Dónde se trazan las gráficas de las relaciones? En un Plano Cartesiano

Plano cartesiano El Plano cartesiano consiste de dos rectas numéricas( rectas reales) las cuales son perpendiculares. O sea, forman un ángulo de 90°. Los números de esta recta real se representan con la variable y Los números de esta recta se representan por la variable x

Plano cartesiano El par (0,0) Segundo cuadrante Primer cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Plano cartesiano El eje horizontal se llama eje de x. Los elementos del dominio de una relación los localizamos en este eje. El eje vertical se llama eje de y es ahí donde localizamos los elementos del alcance. La intersección de ambos ejes se llama el origen y se denomina por (0,0).

Plano cartesiano Los puntos en este plano consisten de dos coordenadas que denotamos por (x, y). Eso quiere decir que el primer número corresponde a un valor del eje horizontal y el segundo corresponde a un valor del eje vertical

Plano cartesiano ¿Cómo se localizan los pares ordenados en el Plano cartesiano? Ejemplo: Localice ( -3, 4) Solución: Comenzando en (0,0) muévase hacia la izquierda 3 unidades en el eje horizontal. Después, suba 4 unidades.

Plano cartesiano (-3, 4)

Plano cartesiano Localice (3, 0) (0,-4) (-7,-2)

Plano cartesiano (3,0) (-7,-2) (0,-4)

Distancia entre dos puntos Necesitamos una fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Distancia entre dos puntos (9,8) (1,2) ¿Cómo se halla la distancia entre esos dos puntos?

Distancia entre dos puntos (9,8) Queremos hallar d, la distancia entre esos dos puntos d 6 unidades (1,2) (9,2) 8 unidades

Distancia entre dos puntos Queremos buscar d. Observe que se formó un triángulo rectángulo y que se cumple el teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 En nuestro caso se sustituye por d la letra c, a representa la longitud de un cateto (9 – 1) = 8 y b representa la longitud de otro cateto (8 – 2) = 6. Por lo tanto,

Distancia entre dos puntos De la información de la figura obtenemos:

Distancia entre dos puntos La distancia la conseguimos usando unos números en particular, pero ahora vamos a construir una fórmula general. ¿Qué fue lo que hicimos? Teníamos un par ordenado digamos (x1,y1) y otro (x2, y2). Buscamos otro que resultó ser ( x2, y1). Por lo tanto la fórmula es:

Fórmula de la distancia La fórmula es:

Ejemplo (x2, y2) (x1, y1) Halla la distancia entre (2,5) y (-1,3)

Distancia entre dos puntos Halla la distancia entre (-1,2) y (3,5) Halla la distancia entre (4,7) y (-2,-5)

Coordenadas del punto medio (9,8) (?, ?) (1,2)

Coordenadas del punto medio La fórmula es: En nuestro ejemplo

Relaciones Dijimos que una relación asocia dos cantidades. Como las cantidades no las conocemos las representamos con variables. En matemática por uso y costumbre se usa la variable x para representar un valor del dominio y la variable y para representar un valor del alcance.

Relaciones Por ejemplo, una buena vinagreta se prepara de la manera siguiente: por cada cantidad de aceite se debe echar el doble de vinagre. Supongamos que el dominio de esta situación consiste de las tazas de aceite y el alcance las tazas de vinagre. La relación que existe es el doble de vinagre que de aceite. Si x representa las tazas de aceite, y las tazas de vinagre se representan por y entonces la relación matemática se puede escribir como:

Relaciones La relación se escribe Y = 2x Esta ecuación sirve para obtener la cantidad de vinagre necesario una vez que se determine cuanto aceite echar. Para una libra de lechuga y 1 libra de tomate se le debe echar ½ taza de aceite. ¿Cuánto se debe echar de vinagre?

Relaciones Veamos la tabla para otras cantidades. x y ½ 1 1.5 3 2 4

Relaciones Un ama de casa está haciendo una ensalada y echa 1 y ¼ tazas de aceite y 2 y ¼ tazas de vinagre ¿Es esta una buena vinagreta? Discuta a la luz del ejercicio anterior

Relaciones ¿Qué es una gráfica? Es la representación geométrica del conjunto de puntos que satisface una ecuación. ¿Cómo podemos hacer una gráfica de la vinagreta?

Gráficas Si tenemos la ecuación y = 2x es muy fácil, si hacemos una tabla de valores. Note que el dominio son números positivos pues no tiene sentido echar un número negativo de tazas de aceite. Podemos decir que el dominio es el intervalo (0, ). Por lo tanto una posible tabla sería:

Gráficas Construya una tabla de valores Seleccione cualquier número del dominio Sustituya esos valores en la ecuación y = 2x x y 0.5 1 Y=2(1)=2 2 1 1.5 3 Y = 2(1.5)=3

Gráfica Localice los pares ordenados No incluye el (0,0) Como el dominio son (0, ∞) los puntos se unen mediante una recta

Recuerde construir una tabla de valores y sustituir para hallar la y Gráfica Trace la gráfica de: y = x y = ½ x y = 2x + 4 y = -3x Recuerde construir una tabla de valores y sustituir para hallar la y

Relaciones Determine si el par es solución o no lo es de las siguientes ecuaciones: 1. (2, 21) y = 6x + 9 2. (4,1) 3x + 2y = 9 3. (2,0) 2x + y = 8 4. (-5,6) y = 2|x | - 4

Debes trabajar los ejercicios asignados para entender el material. FIN Debes trabajar los ejercicios asignados para entender el material.