Matemáticas 2º Bachillerato C.T. DERIVADAS U.D. 5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. DERIVACIÓN U.D. 5.3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA DE FUNCIONES POLINÓMICAS Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + ▲x) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ---------------------- = --------- = ------- = 0 ▲x 0 ▲x ▲x ▲x Sea f(x) = x f (x + ▲x) - f(x) x + ▲x - x ▲x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------- = ------- = 1 ▲x 0 ▲x ▲x ▲x Sea f(x) = k.x f (x + ▲x) - f(x) k.x + k▲x - kx k▲x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------------- = --------- = k ▲x 0 ▲x ▲x ▲x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. Sea f(x) = x2 Aplicando la definición de derivada de una función: f (x +▲x) - f(x) (x +▲x) 2 - x 2 x 2 + 2.x.▲x +▲x 2 - x 2 f ‘ (x) = lím --------------------- = ------------------- = -------------------------------- = ▲x 0 ▲x ▲x ▲x 2.x.▲x + ▲x 2 = lím ---------------------- = 2.x + ▲x = 2.x + 0 = 2.x ▲x 0 ▲x Sea f(x) = x3  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3. x2 Generalizando: f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. DERIVADA DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = x0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------- + ------------------------ = x0 x x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- + lím ------------------------ = x0 x x0 x y’ = f ’(x) + g ‘(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. DERIVADA DEL PRODUCTO Sea y = f(x). g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = x0 x Sumamos y restamos f(x).g(x+x) al numerador, quedando: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x) . g(x) + f(x).g(x+x) - f(x).g(x+x) = lím ‑‑------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------------------------------------- x 0 x Sacando factor común : [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x ) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------------------------------------------------- x0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) = x0 x x0 x y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. DERIVADA DE LA INVERSA Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)] y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x) x0 x x0 x Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------- = lím ---------------------------- = x0 x x0 f(x). f(x + x). x - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----- . ------------------- = - f ‘(x). ---------- = ------- x0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA DE LA DIVISIÓN Sea y = g(x) / f(x) Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: g ’(x) - f ‘(x) y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). -------- f(x) f 2 (x) y sacando mínimo común múltimo resulta: g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x) y ‘ = ------------------------------------- f 2 (x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. OTRAS MUY EMPLEADAS Sea y = √x Siempre se puede poner previamente como y = x1/2 y operar como si fuese una función polinómica. Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y ’ = 1 / 2√x Sea y = 1 / x Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 y operar como si fuese una función polinómica. y ’ = – 1/ x2 Sea y = 1 / f (x) Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x) Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible pues se puede operar como si fuese una división de funciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Sea y = Ln x Aplicando la definición de derivada: Ln (x + x) - Ln x 1 y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = ----- x0 x x Sea y = log x Se procede a un cambio de base: 10y = x  y = Ln x / Ln 10 1 1 y ' = -------- . ---- Ln 10 x En general, sea y = loga x Se procede a un cambio de base: ay = x  y = Ln x / Ln a 1 1 y ' = ------- . ---- Ln a x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA DEL LOGARITMO Sea y = Ln f(x) Aplicando la definición de derivada: Ln f(x + x) - Ln f(x) f ‘ (x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------- = -------------- x0 x f (x) Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. Sea y = log f(x) o y = loga f(x) Aplicando un cambio de base: f(x) = 10y  y = Ln f(x) / Ln 10 Aplicando un cambio de base: f(x) = ay  y = Ln f(x) / Ln a 1 f ‘ (x) 1 f ‘ (x) y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- Ln 10 f(x) Ln a f (x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea y = ex la llamada función exponencial. Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln ex = x. Ln e = x Derivando: D(Ln y) = D( ln f (x) ) = f ’(x) / f (x) como ya hemos visto. y ‘ / y = 1  y ‘ = y . 1 = y  y ‘ = ex La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. Sea y = ax , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = x. Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ 1. Ln a + x. 0] ; y ‘ = y . Ln a  y ‘ = ax . Ln a @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Sea y = af(x) , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = f(x). Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ f ‘ (x). Ln a + f(x). 0] ; y ‘ = y . [ f ‘ (x).Ln a ]  f(x)  y ‘ = a . f ‘ (x). Ln a g(x) Sea y = f (x) , función POLINÓMICO-EXPONENCIAL Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos ... y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y . [ … ]  y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Como hemos visto las razones trigonométricas están relacionadas entre sí. Ello hace que sólo tengamos que saber las derivadas de las dos primeras: Sea y = sen x  y ‘ = cos x Sea y = cos x  y ‘ = - sen x Al poder poner y = tg x como y = sen x / cos x , para derivarla la trataremos como una división de funciones. Y del mismo modo el resto de funciones trigonométricas. Sea y = sen f(x)  y ‘ = cos f(x) . f ’ (x) Sea y = cos f(x)  y ‘ = - sen f(x) . f ’ (x) Sea y = Ln sen x  y ‘ = cos x / sen x Sea y = Ln cos x  y ‘ = - sen x / cos x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.