PROPORCIONALIDAD U. D. 3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES U. D. 3.4 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Propiedad de proporcionalidad Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple siempre que la suma o resta de cantidades siguen siendo directamente proporcionales. a b a+ b --- = --- = k  ------- = k a’ b’ a’+b’ a b --- = k  a = a’.k ; ----- = k  b = b’.k a’ b’ a + b a’.k + b’.k k.( a’ + b’ ) a’ + b’ -------- = --------------- = ---------------- = k. ------------- = k a’+ b’ a’+ b’ a’ + b’ a’ + b’ @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Aplicación de la Propiedad Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. Magnitud “Ganancias” 8  12  16 Magnitud “Horas trabajo” 2  3  4 8+12 20 ------ = ----- = 4 2+3 5 12+16 28 --------- = ---- = 4 3+4 7 8+12+16 36 ------------- = ---- = 4 , como vemos es un valor constante 2+3+ 4 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Directamente Proporcionales Hemos visto que se cumple en las magnitudes D. P.: a b c a+ b+c --- = --- = --- = ------------- = k a’ b’ c’ a’+b’+c’ Como: a a+ b+c a+b+c --- = ------------  a = a’. ----------- = a’.k a’ a’+b’+c’ a‘+b’+c’ En problemas de reparto nos suelen dar la cantidad total a repartir (S=a+b+c) y las cantidades directamente proporcionales (a’,b’,c’), quedando: S S S a = a’. ----------- ,, b = b’. ------------ ,, c = c’. ------------- a’+b’+c’ a’+b’+c’ a’+b’+c’ @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Directamente Proporcionales EJEMPLO_1 Una madre reparte 60 € entre sus tres hijos, en razón directamente proporcional al número de semanas que la han ayudado en las tareas caseras, que han sido de 3,4 y 5 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno?. Aplicando la propiedad indicada arriba, tenemos: a b c a + b + c 60 --- = --- = --- = ------------- = ----- = k 3 4 5 3 + 4 + 5 12 Como k =60/12 = 5 a = 3.k = 15 b= 4.k = 20 c= 5.k = 25 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Repartos Directamente Proporcionales EJEMPLO_2 Un profesor de matemáticas reparte puntos extras entre cuatro alumnos que han buscado y solucionado problemas originales, en cantidad de 2, 4, 5 y 7 problemas respectivamente. Si al alumno que resolvió 4 problemas le correspondieron 0,75 puntos, ¿cuánto les ha correspondido a cada uno y cuántos puntos repartió en total?. Aplicando la propiedad, tenemos: a 0,75 c d S --- = ------- = --- = ------ = --- = k 2 4 5 7 18 Como k =0,75/4 = 0,1875 a = 2.k = 2.0,1875 = 0,375 c= 5.k = 5.0,1875 = 0,9375 d= 7.k = 7.0,1875 = 1,3125 S = 18.k = 18.0,1875 = 3,375 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Relojes (I) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Relojes (II) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 12 y media de la mañana? Es un asunto de repartos proporcionales. Mientras la aguja de los minutos recorre 180º de los 360º, la aguja de las horas deberá recorrer una distancia proporcional entre las 12 y la 1, o sea la mitad: Ángulo = 30º / 2 = 15º Ángulo entre agujas = 180 – 15 = 165º ¿Y a las 2 y veinte? La aguja de las horas recorrerá la tercera parte del ángulo entre las 2 y las 3. Ángulo = 30º / 3 = 10º Ángulo entre agujas = 20 + 30 = 50º @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Relojes (II) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 10 y cuarto de la noche? Es un asunto de repartos proporcionales. Mientras la aguja de los minutos recorre 90º de los 360º, la aguja de las horas deberá recorrer una distancia proporcional entre las 10 y las 11, o sea la cuarta parte del ángulo: Ángulo = 30º / 4 = 12,5º Ángulo entre agujas = 5·30º –12,5 = 137,5º ¿Y a las 7 y cinco de la tarde? La aguja de las horas recorrerá la doceava parte del ángulo entre las 7 y las 8. Ángulo = 30º / 12 = 10º / 4 = 2,5º Ángulo entre agujas = 180 – 2,5 = 177,5º @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO