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ALGEBRA LINEAL

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ALGEBRA LINEAL El álgebra lineal es la rama de la matemática que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales, y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano. Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud), dirección y sentido (u orientación). Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso de dimensión infinita. Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional. La mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información eficientemente. Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, España, India

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los números reales o en el de los números complejos. Una aplicación (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de él mismo), de forma compatible con la suma o adición y la multiplicación por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada aplicación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se consideran parte del álgebra lineal.

* VECTORES NO LINEAL DEPENDIENTES Estos son no linealmente independientes por el siguiente argumento, el cual por inspección, se puede ver que no se apega a la definición anterior de independencia lineal: x2=-2x1⇒2x1+x2=0. Otro método para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores. Observando estos dos vectores geométricamente (como en la siguiente figura 1), uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes.

* VECTORES NO LINEALMENTE INDEPENDIENTES Estos son linealmente independientes ya que c1x1=−(c2x2) solo si c1=c2=0. Basados en la definición, esta demostración muestra que estos vectores son linealmente independientes. También podemos graficar estos dos vectores (véase figura 2) para checar la independencia lineal. IR A TEMAS

LA ELIPSE Una elipse es la sección cónica que corresponde al caso β > α. Sean F y F' dos puntos del plano, denominados focos, y sea d una longitud mayor que la distancia entre F y F'. En esta hipótesis, la elipse de focos F, F' y de parámetro d se define como es el lugar geométrico de los puntos del plano (M) tales que la suma de las distancias de M a los focos es constante e igual a d:

El valor de a se denomina semieje mayor de la elipse. En un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación: donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor

PROPIEDADES DE LA ELIPSE **ECUACION PARAMETRICA La elipse anterior tiene como ecuación paramétrica x = a·cos θ, y = b·sen θ, con θ describiendo el intervalo [0;2π) (notar que θ no es el ángulo que forma OM con OM1

*TANGENTE DE LA ELIPSE La tangente a la elipse en el punto M (xo, yo ) admite como ecuación: x·(x - xo)/a² + y·(y - yo)/b² = 0, que se escribe también: x-xo/a² + y-yo/b² = 1 (que se obtiene con el método de desdoblamiento de las variables). * TANGENTE DE LA ELIPSE (CORREGIDA) La recta tangente a la elipse centrada en (P, Q) en el punto M (X0, Y0) tiene como

LA ELIPSE IR A TEMAS

LA HIPERBOLA Una hipérbola es un tipo de sección cónica. Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano para los cuales la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, r y r′, en la hipérbola destacan los siguientes elementos: • Centro, O. • Vértices, A y A′. • Distancia entre los vértices, • Distancia entre los focos. Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.

* ECUACIONES DE LA HIPERBOLA ECUACIONES CON COORDENADAS CARTESIANAS ECUACIONES CON COORDENADAS POLARES

ECUACIONES PARAMETRICAS IR ATEMAS

LA PARABOLA La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana que se puede ajustar, en relación a un sistema de coordenadas ortonormales, con la relación

Se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de uno fijo, llamado foco (F), y de una recta cualquiera, llamada directriz (D).

*PROPIEDADES DE LA PARABOLA ECUACION CANONICA La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas. Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es: En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que su ecuación canónica (o principal) es:

ECUACION GENERAL Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y: EN DONDE PUEDE SER:

TANGENTE DE LA PARABOLA Sea hallar la tangente a la parábola: Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas. El término lineal de la ecuación indicará sobre qué eje está ubicado el foco (eje focal), y el signo del mismo, hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda). TANGENTE DE LA PARABOLA Sea hallar la tangente a la parábola: en uno de sus puntos de coordenadas (x1, y1). Derivando respecto a x los dos miembros de la fórmula resulta: 2yy' = 2p

DESPEJANDO Y´: y' = p / y;y'1 = p / y1 LA ECUACIÓN DE LA TANGENTE SERÁ: y − y1 = p / y1(x − x1) Y QUITANDO DENOMINADORES: HACIENDO LA TRASPOSICIÓN DE TÉRMINOS: POR TANTO, LA ECUACIÓN DE LA TANGENTE ES:

Es importante mencionar que una conclusión como la anterior la podemos obtener utilizando únicamente geometría analítica. Ya que si consideramos la ecuación y = ax2 entonces un punto de ella es (x1,ax12) por lo que la recta y − ax12 = m(x − x1) es la ecuación de una recta secante a la parábola, si buscamos las condiciones adecuadas substituyendo la segunda ecuación en la primera, y buscamos que la recta secante se intercepte una sola vez con la parábola encontraremos que el valor de la pendiente corresponde al de la derivada.

Se comprueba que desde el punto de vista meramente formal, para hallar la ecuación de la tangente basta escribir la ecuación de la parábola en la forma y·y = px + px, y reemplazar en ella una y por y1 y una x por x1. IR A TEMAS

FIN