Nociones de Orden Lógico-Matemático

l.correspondencia

Correspondencia La acción de correspondencia implica establecer una relación o vínculo que sirve de canal, de nexo o unión entre elementos. Significa que a un elemento de un conjunto se lo vincula con un elemento de otro conjunto, según alguna relación realmente existente o convencionalmente establecida.

La forma más sencilla de comprobar que dos conjuntos poseen la misma cantidad de elementos es por la correspondencia, método que por su simplicidad es más fácil de explicar por la acción que definirlo.

Cuando se establece correspondencia entre conjuntos que tienen la misma cantidad de elementos, se dice que los conjuntos tienen el mismo cardinal.. De esa manera surge el número como propiedad común de esos conjuntos equivalentes en cantidad de elementos. La correspondencia permite construir el concepto de equivalencia y por su intermedio sintetizar las similitudes y llegar al concepto de clase y número. 4 4

De acuerdo al grado o nivel de concretización con que se trabaje la noción de correspondencia, es posible determinar diversos grados de dificultad o abstracción. 1.- Correspondencia objeto a objeto con encaje: se vinculan los elementos de dos conjuntos mediante la relación o introducción de un elemento dentro de otro. Ej. Niño- abrigo, frasco-tapa, llave-cerradura, etcétera.

2.- Correspondencia objeto a objeto: los objetos que se usan para establecer la relación poseen una afinidad natural. Ej taza-plato, plato-cuchara, niño-bolsón, persona-asiento. 3.- Correspondencia objeto a signo: establece vínculo entre objetos concretos y signos que la representa. Ej. niño-su nombre, persona-iniciales de su nombre.

4.-Correspondencia signo a signo: se vinculan signos con signos; representan el mayor grado de abstracción en el camino de la correspondencia ejemplo: cinco-5, pe-p, be-b, cu-q etcétera. Este es el tipo de correspondencia que se establece entre el concepto de número, su nombre y su signo gráfico o numeral.

Correspondencia unívoca Esta forma de correspondencia es la que utiliza el hombre primitivo para estar seguro de los objetos que posee, para saber que recibe lo mismo que da, cuando aún so sabe contar, y es el mismo recurso que utiliza el niño antes de la noción de número. Uno y otro aseguran tener la misma cantidad en los dos conjuntos que comparan, empleando la correspondencia término a término.

La correspondencia término a término, por medio de la relación unívoca, permite asegurar igual cardinalidad de los dos conjuntos sobre la base de la percepción. El sujeto de pensamiento intuitivo establece que hay la misma cantidad, que un conjunto es equivalente a otro, pero no puede precisar en que consiste esa igualdad, no puede determinar si el número de elementos de un conjunto es igual al número de elementos del otro, si uno y otro contienen el mismo número.

Solo se da la correspondencia global, basada en la buena forma Solo se da la correspondencia global, basada en la buena forma. La correspondencia entre los elementos en uno y otro conjunto depende de la relación unívoca que se construye sobre la base de la percepción. Hacer corresponder un objeto a otro “sensomotrizmente”, significa colocar un objeto frente a otro; de esa forma se determinan por la acción perceptiva dos conjuntos equivalentes.

La correspondencia queda establecida por la percepción que aprehende globalmente los conjuntos, en forma sincrética (unida), sin discriminar las dimensiones y realizar la igualación de las diferencias determinando una “buena forma” perceptiva. Ellos siempre que la cantidad de elementos que se desea comparar no valla mas allá de las posibilidades perceptivas de cada observador. O que los limites espaciales de la percepción de cada conjunto no presenten diferencias o bien sean ellas levemente sensibles. Ese tipo de correspondencia es llamada término a Término . En ella la relación entre elementos de uno y otro conjunto se establece sobre la base de la percepción determinando como correspondiente el elemento del otro conjunto que está enfrente. A cada elemento de un conjunto se le asigna o hace corresponder un elemento en el otro conjunto, espacialmente cercano.

Correspondencia biunívoca Desde el tipo de correspondencia básica, se evoluciona a una superior, que es realizada por el adulto y que permite comprender como la numeración posibilita la igualación de las diferencias entre conjuntos. Mientras la inteligencia se independiza del control perceptivo y motor para alcanzar la formal la correspondencia término a término se transforma en correspondencia cardinal. Ella asegura la igualdad numérica entre dos conjuntos por equivalencia . Así la relación unívoca perceptiva, unidimensional, se sustituye por la biunívoca y recíproca, que hace establecer a cada elemento del conjunto A uno y solo uno en B, y su inversa a cada elemento del conjunto A uno, y sólo uno en B, y su inversa: a cada elemento de B corresponde uno, y solo uno en A.

Correspondencia múltiple La correspondencia por equivalencia entre dos conjuntos, da paso a la correspondencia múltiple, que se cumple cuando hay más de dos conjuntos que se van a comparar

Ejemplos gráficos para desarrollar la noción de correspondencia

Correspondencia unívoca de objetos con encaje

Correspondencia biunívoca

Correspondencia múltiple

ll. Clasificación

CLASIFICACION El clasificar es una actividad esencialmente humana. Es ordenar diversos elementos utilizando un criterio común. Por esto una clase se puede definir como un conjunto de elementos considerados como equivalentes, independientemente de sus diferencias. Por ende, se constituye en una noción que enfatiza las similitudes entre los entes, sin detenerse a considerar las diferencias.

El concepto de clase se da, en general, a un conjunto homogéneo de elementos bajo algunos criterios. Por eso pasa a definirse “la clase” (es una propiedad que puede reunir en una unidad o definir a una colección de posibles elementos o individuos) por esa propiedad en común que posibilita la pertenencia a ella de esos elementos que la poseen. Por ejemplo se puede formar la clase de los “lápices azules” y la clase de los “ lápices rojos” , y estas dos clases pueden pasar a formar parte de la clase más amplia de los “lápices”, donde el color deja de ser significativo.

Las nociones de clase Las nociones de clase son aquéllas que tienen que ver con la relación de "pertenencia" a un grupo. Se plantean dos tipos de experimentos: - Conductas de clasificación: Se le presentan al niño una cierta cantidad de objetos, como por ejemplo formas geométricas, que difieren entre sí en una o más dimensiones, como forma, tamaño o color, y se le pide que agrupe "lo que va junto" o "los que son iguales". -

Comprensión de la relación entre clase y subclase: Se le presentan al niño 10 fichas de madera (8 amarillas y 2 rojas), y se le pregunta "¿hay más fichas de madera o más fichas amarillas?".

En el desarrollo de las clasificaciones, pueden observarse estas tres etapas a) Aparecen las "colecciones figúrales", es decir, que el niño organiza el material no en clases y subclases en función de las semejanzas, sino guiándose de factores figúrales (por ejemplo clasificar juntos a un cuadrado y un triángulo diciendo que es "una casa con su tejado"). Esto ocurre, según Piaget, porque el niño no es capaz de diferenciar ni coordinar la comprensión (el conjunto de atributos que definen una clase) y la extensión (la suma de elementos que poseen estos atributos)

b) Comienzan las "colecciones no figúrales", formando el niño grupos en base únicamente a la semejanza de atributos. Pero aún le falta la comprensión de la relación de inclusión de una clase en otras; así, puede decir que hay más fichas amarillas que fichas de madera. c) El niño maneja correctamente las nociones de clase y subclase. Una vez que el niño alcanza el dominio de la jerarquía entre clases y subclases, es también capaz de realizar dobles clasificaciones, es decir, tablas de doble entrada o matrices. Se ha observado que es más fácil para el niño clasificar objetos usando la percepción táctil y cinestésica. (objetos “sentidos” pero no vistos) que la visual

Clasificar usando un criterio

Clasificar por color

Clasificar por su forma

Clasificar por su tamaño

Clasificar por forma, tamaño y color

lll. Seriación

Seriación La seriación, como noción de orden, también se basa en la comparación. Los niños pequeños sólo son capaces de comparar le tamaño de dos objetos a la vez, ya que al haber más elementos tienen dificultades para coordinar las relaciones. Para que éste presente el concepto de serie se requieren, a lo menos , tres elementos iguales en lo cualitativo y con diferencias constantes en lo cuantitativo. Eso lo llamamos preserie. Para seriar correctamente es necesario visualizar el elemento del medio como más grande que el que le precede, y al mismo tiempo como más chico que el que le sucede. Piaget define seriar como la “capacidad “ de ordenar un elemento en una serie de tal modo que sea él sea al mismo tiempo el más grande (o el más pequeño) de entre los que quedan por seriar, y el más pequeño (o el más grande) de entre los que ya se han colocado.

Para que esta acción sea posible se requiere tener una serie de elementos, es decir, un conjunto de elementos cualitativamente semejantes en todas las variables de su diseño, que solamente se diferencien en lo cuantitativo y que esa diferencia sea similar y constante entre cada uno de ellos. Esta diferencia similar y constante es la que se presentará posteriormente en la conformación de los números naturales. Cada numero natural a partir del 1, es más que el que le antecede y uno menos que el que le sucede. Ejemplo el 6 es 1 más que el 5 y 1 menos que el 7. Posteriormente en forma gradual, se desarrolla en el niño un sentido de orden que le permite ser capaz de formar series dobles, por medio del ensayo y error, y establecer correspondencia entre ellas.

Ejemplos gráficos para desarrollar noción de seriación.

Conservación de cantidad Continua descontinua

Cantidad: Noción de conservación La noción de cantidad se debe haber ido desarrollando a través de relaciones en las cuales se estimula al niño a usar los términos para comparar cualitativa y cuantitativamente, usando en especial los cuantificadores. Luego de tener la noción de cantidad se debe adquirir la noción de conservación de esa cantidad, es decir, percibir que la cantidad de esos elementos que forman los conjuntos en referencia, permanece invariable a pesar de los cambios de disposición, forma o estructura que se les haga, o en otras palabras, que la propiedad numérica de los conjuntos no se modifica, a pesar de las diversas disposiciones de sus elementos, porque un conjunto o una colección sólo son concebibles si su valor total permanece invariable cualesquiera sean los cambios introducidos en las relaciones de los elementos

Las nociones de conservación: La noción de conservación se puede definir como la comprensión por parte del niño de que las relaciones cuantitativas entre dos objetos permanecen invariables, se conservan, a pesar de que se puedan producir en uno de ellos deformaciones perceptivas irrelevantes, es decir, transformaciones que no impliquen en ningún caso adición o substracción. Los tres experimentos más representativos sobre la conservación son:

Conservación de la cantidad: Ante dos pedazos de plasticina iguales, uno de ellas se modifica de tamaño y se le pregunta al niño si la cantidad de plasticina en ambos pedazos es la misma. - Conservación del peso: Se le pregunta al niño si el peso de ambos pedazos es el mismo, presentando una balanza con dos platillos. - Conservación del volumen: Se le pregunta al niño si al introducir los pedazos en un recipiente de agua, ésta subirá al mismo nivel.

Las nociones de conservación pasan por tres etapas sucesivas: a) Los niños son absolutamente incapaces de conservar. b) "Reacciones intermedias", es decir, que unas veces conservan yotras no. Además, se observan dos tipos distintos de conductas: b1- La respuesta de conservación puede darse si la deformación perceptiva es pequeña, y no darse si la transformación perceptiva es muy llamativa. b2- A veces, se produce la respuesta de conservación cuando se pide a los niños que predigan lo que va a ocurrir antes de hacer la transformación, pero, no obstante, dan una respuesta no conservadora después de la transformación real. c) Los niños admiten la conservación a pesar de todas las transformaciones perceptivas que se realicen con los objetos

Conservación de cantidad