Unidad 5. Capítulo II. Modelos de sistemas en forma matricial.

Considere el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas lineales: U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Considere el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas lineales: que se puede expresar en forma matricial como: o en forma compacta:

se puede representar en la forma: U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Análogamente, el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales: se puede representar en la forma: o

U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. El vector x y sus componentes se denominan vector y variables de estado, respectivamente, lo que significa que tales variables describen en forma completa la condición (o el estado) del sistema en cualquier tiempo. Así, en ocasiones a A se le llama matriz de estado. En general, las ecuaciones tienen funciones de fuerza (o entradas) que aparecen en el vector f (t). Por tanto, las variables de estado se denominan salidas. A veces es más conveniente expresar el vector de función de fuerza como una matriz B multiplicada por otra función del tiempo, r (t).

Entonces, el conjunto de ecuaciones se expresa en la forma: U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Entonces, el conjunto de ecuaciones se expresa en la forma: en donde la matriz B se llama matriz de entrada. El uso de esta forma se ilustra en los siguientes ejemplos. Un tren de tres tanques idénticos se alimenta con un flujo de q m3/s. Ejemplo: Los tubos oponen resistencia al flujo, de modo que éste es proporcional a la diferencia de alturas entre sus extremos, con constante 1/R donde R es la resistencia del fluido. El área del fondo de cada tanque es a. Desarrolle un modelo de las tres alturas de líquido.

U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Al aplicar el criterio de conservación de volumen líquido a cada tanque se obtiene el sistema: Solución:

U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. A partir del cual se pueden determinar los elementos de su representación matricial: y en forma compacta: en donde: y

Desarrolle un modelo matriz vector del circuito. U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Ejemplo: En la siguiente figura se muestra un circuito que tiene tres lazos RC y un suministro de corriente is. Desarrolle un modelo matriz vector del circuito. Solución: Al aplicar el principio de conservación de la carga a la serie de dispositivos indicados en el diagrama del circuito se obtiene:

y al derivar cada ecuación y agrupar términos: U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. y al derivar cada ecuación y agrupar términos:

La representación de estas ecuaciones en forma matricial es: U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. La representación de estas ecuaciones en forma matricial es: y en forma compacta se tiene, finalmente: en donde: y

U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Sistemas análogos: En los ejemplos previos, las ecuaciones del circuito son idénticas a las de los tanques de almacenamiento. Las resistencias de los tubos actúan como los resistores, y los tanques almacenan el líquido tal como un capacitor la carga. El flujo de líquido y la altura de líquido son análogos a la corriente y al voltaje, por lo que ambos sistemas físicos son análogos. El uso de analogías ayuda a entender diferentes sistemas. Por ejemplo, el análisis de un circuito eléctrico puede simplificarse al examinar procesos transferencia de calor, dado que el flujo térmico y la temperatura son análogos a la corriente y al voltaje.

Desarrolle dos representaciones matriciales de esta ecuación. U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Ejemplo: En las aplicaciones de ecuaciones de 2° orden con coeficientes constantes se estableció el modelo de un sistema resorte-masa-amortiguador en la forma: Desarrolle dos representaciones matriciales de esta ecuación. Solución: Una ecuación de orden n > 1 siempre puede transformarse en una forma matricial estándar: Mediante el siguiente procedimiento:

De este modo se decide que sean: U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Haga que las variables de estado sean la variable básica (en este caso, x). Obtenga derivadas sucesivas de dicha variable hasta obtener el número de variables requeridas (igual al orden de la ecuación. Como en este caso se trata de una ecuación de 2° orden, se requieren sólo dos variables de estado. De este modo se decide que sean: Entonces:

La anterior selección de las variables de estado no es única, U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. y de aquí: en donde: y La anterior selección de las variables de estado no es única, por ejemplo, se podría escoger:

U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Si m = γ = k = 1, el sistema en términos de estas nuevas variables sería: Aunque éste no es el caso, la selección de las variables de estado se realiza frecuentemente con el propósito de obtener una forma más conveniente de la matriz A.

U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Ejemplo: Desarrolle la forma matricial del modelo del edificio de dos pisos sujeto a los efectos del movimiento del suelo, cuyas ecuaciones de movimiento son: Solución: Para transformar este conjunto de ecuaciones de 4° orden en un conjunto de cuatro ecuaciones de primer orden, se requiere de dos variables adicionales. Si se decide que éstas sean las velocidades, las dos nuevas variables son

Entonces, las cuatro ecuaciones son: U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. Entonces, las cuatro ecuaciones son: A partir de las cuales se obtiene:

o, en forma compacta: donde: y U-5. Cap. II. Modelos matriciales de sistemas. o, en forma compacta: donde: y