Unidad 4 Anexo 1. Capítulo VII. Circuitos eléctricos.

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. Los circuitos eléctricos en serie RLC, comunes en el estudio de la ingeniería eléctrica, son otra aplicación importante de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Un circuito eléctrico en serie RLC es un lazo conductor que incluye usualmente un resistor con resistencia R ohmios (W); un capacitor cuya capacitancia es C faradios (F), y un inductor con inductancia L henrios (H). El voltaje E(t) voltios (V) llega al circuito mediante una batería, un generador, señales de radio o de TV, o simplemente la electricidad doméstica.

Una batería suministra un voltaje constante de magnitud E0. U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. Una batería suministra un voltaje constante de magnitud E0. Un generador suministra un voltaje periódico que puede ser expresado como E0 cos w t, o E0 sen w t, en donde la constante E0 es la amplitud y w es la frecuencia (circular) del voltaje. La cantidad de principal interés en un circuito eléctrico es la corriente i(t), medida en amperios (a), definida como la cantidad de carga eléctrica q que fluye por unidad de tiempo.

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. La corriente i que fluye por un circuito está determinada por la 2ª ley de Kirchhoff: la suma de las caídas de voltaje en un circuito de un solo lazo es igual al voltaje aplicado. De la física, se sabe que un voltaje a través de un resistor es proporcional a la corriente y se expresa: la constante de proporcionalidad R se llama resistencia, y su unidad es el ohm u ohmio. Los inductores (bobinas) se construyen con materiales altamente conductores (como el cobre) y son comúnmente usados en motores eléctricos y transformadores.

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. Un inductor prácticamente no ofrece resistencia al flujo de electrones cuando la corriente es constante, pero se opone a los cambios en la corriente. Esto provoca una caída de voltaje a través del inductor que es proporcional a la rapidez de cambio de la corriente. Así: la constante de proporcionalidad L se llama inductancia, y su unidad es el henry o henrio.

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. Un capacitor es un dispositivo de almacenamiento, capaz de regular el flujo de corriente en un circuito reteniendo o liberando la carga eléctrica q. La cantidad instantánea de carga que almacena un capacitor es proporcional a la caída de voltaje a través del mismo, y puede expresarse como: o la constante C se llama capacitancia y su unidad es el faraday o faradio.

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. así, de acuerdo con la ley de Kirchhoff, la ecuación que rige la variación de flujo de corriente en un circuito cerrado con respecto al tiempo resulta: y como: se obtiene: Las propiedades R, L y C, en general, pueden depender de la corriente; sin embargo, esta dependencia es muy moderada por lo que pueden considerarse como constantes.

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. Esta es una ecuación diferencial lineal de 2° orden con coeficientes constantes. Es notable la semejanza entre ésta y la ecuación que rige las vibraciones mecánicas; aunque físicamente son dos mundos distintos, matemáticamente son idénticas y, por tanto, tienen la misma forma de solución. Los conceptos de, batimientos, resonancia, frecuencia natural, oscilaciones amortiguadas amortiguación crítica y solución estacionaria, aplican también, mediante una adecuada interpretación, a los circuitos eléctricos. La correspondencia entre las cantidades mecánicas y eléctricas se conoce como analogía electromecánica.

Carga inicial en el capacitor: q(0) = q0 . U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. La solución general de la ecuación diferencial incluirá dos constantes arbitrarias que pueden determinarse a partir de dos condiciones iniciales: Carga inicial en el capacitor: q(0) = q0 . ii) Corriente inicial que fluye por el circuito: i(0) = i0. En ciertas ocasiones se requiere especificar la derivada de i(t)|t = 0, es decir: Cuando se conoce la carga q se puede obtener la corriente i (i = dq/dt); si se conoce i, integrando se puede obtener q.

Ejemplo: Respuesta de un circuito RLC. U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. Ejemplo: Respuesta de un circuito RLC. Determine la corriente estacionaria de un circuito RLC para un voltaje aplicado en la forma E(t) = E0 sen w t. Solución: La ecuación diferencial que rige el flujo de corriente en el circuito es: cuya derivada resulta en la ecuación de 2° orden:

La solución simplificada de esta ecuación es: U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. La solución simplificada de esta ecuación es: La expresión en el denominador de la solución obtenida: representa la resistencia efectiva del circuito al flujo de electrones, en ohms, y se llama impedancia del circuito.

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. Análogamente a los sistemas mecánicos, la impedancia se minimiza al derivar Z con respecto a w e igualar con cero para obtener: Este valor se denomina frecuencia de resonancia, debido a que maximiza la corriente (ver figura).

U-4.A-1. Cap. VII. Circuitos eléctricos. En la mayoría de sistemas mecánicos la resonancia es algo que debe evitarse por ser muy destructiva; sin embargo, la acción de muchos dispositivos eléctricos se basa en ella. En un radio, por ejemplo, el sintonizador varía la capacitancia del circuito sin alterar resistencia ni inductancia; por tanto, todo ajuste del sintonizador equivale a especificar la señal periódica cuya frecuencia w maximizará la corriente. Si se desea sintonizar una estación que transmite señales en la frecuencia w1 y proporciona señales periódicas de voltaje de entrada de la forma E0 sen w1t, se ajusta el valor de C a 1/Lw12, de modo que esta señal específica cause la mínima impedancia (y, por tanto, la máxima corriente) en el circuito.