Ecuaciones Diferenciales con Transformadas de Laplace Transformadas de Laplace - N.C.Maggi

Objetivos El objetivo de esta clase es aplicar la Transformación de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, con coeficientes constantes, y condiciones iniciales. Para la aplicación del método se utilizará el software Mathematica.

con las condiciones iniciales DOMINIO TEMPORAL DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRANSFORMADAS f(t) F(s) Planteo de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales Transformación de Laplace Ecuación en el Dominio de las Funciones Transformadas, con las condiciones iniciales incorporadas Resolución algebraica Solución -> F (s)   Solución -> f (t) Transformación Inversa de Laplace

Sea la ecuación diferencial u’’[t]+ 4 u[t] = 9 t Las condiciones iniciales son: u[0]=0 ; u’[0]=7 (1)

Primer paso Aplicación de la Transformación de Laplace a la ecuación (1) La sentencia en Mathematica es: edt=LaplaceTransform[u''[t]+4 u[t]== 9 t,t,s] La salida es: 4 LaplaceTransform[u[t],t,s]+s2 LaplaceTransform[u[t],t,s]-s u[0]-u’[0]== 9/s2 (2)

Segundo paso Reemplazo de las condiciones iniciales en la ecuación (2) La sentencia en Mathematica es: edt1=edt/.{LaplaceTransform[u[t],t,s]->U, u[0]->0,u'[0]->7} La salida es: -7 + 4 U + s2 U == 9/s2 (3)

Tercer paso Resolución de la ecuación algebraica (3) La sentencia en Mathematica es: edt2=Solve[edt1,U] La salida es: {{U->(9+7 s2)/(s2 (4+s2))}} (4)

Cuarto paso Aplicación de la Transformada Inversa a la expresión (4) La sentencia en Mathematica es: u[t]=InverseLaplaceTransform[edt2,s,t] La salida es: {{U DiracDelta [t]-> ¼ (9t+19Cos[t]+Sin[t])}}

u(t) = ¼ .[9t + 19 . cos [t] . sen[t]] Solución de la ecuación diferencial La solución de la ecuación (1) es: u(t) = ¼ .[9t + 19 . cos [t] . sen[t]]

Trazado de la gráfica de la solución La sentencia en Mathematica es: Plot[1/4(9 t +19 Cos[t] Sin[t]),{t,0,20},AxesLabel->{“t”,”f[t]”}]

Trazado de la gráfica de la solución

Resolución de la ecuación (1) con el comando Dsolve La sentencia en Mathematica es: Dsolve[u’’[t]+4 u[t]==9 t,u[t],t] La salida es: U[t]->9/4 t +C1Cos[2t]+C2Sin[2t] Esta es la solución general, por lo que hay que aplicarle las condiciones iniciales