Unidad 4 Anexo 1. Capítulo IX. Ejercicios.

¿Pueden los sistemas reales tener resonancia pura? Explique. U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 1 Defina la amplitud, la frecuencia y el periodo de vibración. ¿Cuándo un movimiento vibratorio es armónico simple? 2 Explique la frecuencia, la frecuencia circular y la frecuencia natural. Señale las diferencias y las similitudes entre éstas. ¿Pueden los sistemas reales tener resonancia pura? Explique. En términos eléctricos, ¿cuál es la función del sintonizador de un radio?   5 Si se conoce la variación de la corriente con respecto al tiempo i(t) en un circuito RLC, explique cómo podría usted determinar la variación de la carga q(t) en el capacitor con respecto al tiempo. 6 Escriba el modelo de un sistema resorte-masa-amortiguador horizontal y explique el significado físico de cada término. Exprese cuándo se elimina cada término de la ecuación. 7 ¿Cuál es la diferencia entre movimiento amortiguado y no amortiguado? ¿En qué se distinguen las vibraciones libres de las vibraciones forzadas?

9 Describa el movimiento sobre, críticamente y subamortiguado. U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 8 ¿Cuándo producen pulsaciones las vibraciones forzadas sin amortiguación? ¿Cuándo producen resonancia? 9 Describa el movimiento sobre, críticamente y subamortiguado. 10 ¿En qué se diferencia un movimiento subamortiguado de un armónico simple? 11 Para una amortiguación fija, ¿cuál sistema es más susceptible a las vibraciones de gran amplitud: un sistema con una frecuencia natural baja o alta? Considere una masa de 0.2 k suspendida de un resorte cuya constante es k = 500 N/m. Ahora la masa se tira hacia abajo 1 cm, y luego se libera con una velocidad inicial cero. Despreciando cualquier fricción, determine la frecuencia natural, el periodo y la amplitud del movimiento resultante. Una masa de 0.5 k está suspendida de un resorte que se estiró 0.2 cm bajo la influencia del peso de esta masa. Ahora se tira de la masa hacia abajo y se suelta en el tiempo t = 0. Se observa que la masa pasa por su posición de equilibrio estático con una velocidad de 10 m/s. Despreciando toda fricción, determine la fre­cuencia natural, el periodo y la amplitud del movimiento resultante.

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 14 Para que la identidad A cos (wt  f1) = B sen (wt  f2) sea válida, determine cuáles deben ser los valores de B y f2 en términos de A y f1.  15 Una masa de 1 k está suspendida de un resorte que está estirado 1 cm bajo la influencia del peso de esta masa. Ahora se aplica una fuerza periódica externa de Fe(t) = 200 coswt sobre la masa, que inicialmente estaba en equilibrio estático. Despreciando toda fricción, obtenga una relación para el desplazamiento de la masa en función del tiempo, x(t). También determine el valor de w que hará que se produzca resonancia. 16 Considere una masa m suspendida de un resorte que tiene una constante k. Ahora se aplica una fuerza periódica externa de Fe(t) = F0 cos wt + F1 sobre la masa, que estaba inicialmente en equilibrio estático. Despreciando toda fricción, obtenga una relación para el desplazamiento de la masa en función del tiempo, x(t). También determine el valor de w que hará que se produzca resonancia.

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 17 Considere una masa m suspendida de un resorte con constante k. Ahora se aplica una fuerza periódica externa Fe(t) = F0 sen wt a la masa, que inicialmente estaba en equilibrio estático. Use los valores w = 20, w0 = 30, m = 1 y F0 = 100. Despreciando toda fricción, obtenga una relación para la velocidad de la masa en función del tiempo, v(t). También determine el valor máximo de la velocidad, vmax y la diferencia de tiempo de aparición de dos velocidades máximas. 18 Una masa de 5 k está suspendida de un resorte que se estira 2 cm debido al peso de esta masa. La masa está conectada a un amortiguador con una constante de amortiguación g = 200 Ns/m. Ahora se tira de la masa hacia abajo 1 cm y luego se suelta con una velocidad inicial cero. Determine a qué distancia de su posición de equilibrio estático estará la masa en el tiempo t = 0.05 s. 19 Una masa de 0.5 k cuelga de un resorte que se estira 0.2 cm por el peso de esta masa. La masa está conectada a un amortiguador con una constante g = 2000 Ns/m. Ahora se tira de la masa hacia abajo 2 cm y luego se suelta con una velocidad descendente de 20 m/s. Determine si la masa pasará en algún momento por su posición de equilibrio estático. Si pasa, determine el tiempo y la velocidad de la masa en ese instante.

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 20 Una masa de 4 k cuelga de un resorte que se estira 3 cm. La masa está conectada a un amortiguador con constante de amortiguación g = 5000 Ns/m. Ahora se tira de la masa 5 cm hacia abajo y luego se suelta con una velocidad ascendente inicial de 30 m/s. Determine el desplazamiento máximo de la masa con respecto a su posición de equilibrio estático durante todo el movimiento. 21 Una masa de 5 k cuelga de un resorte que se estira 2 cm por el peso de esta masa. La masa está conectada a un amortiguador con una constante g = 200 Ns/m. Ahora se aplica una fuerza periódica externa Fe(t) = 200 coswt sobre la masa, que inicialmente estaba en equilibrio estático. Obtenga la relación para el desplazamiento de la masa en función del tiempo, x(t). También determine el valor de w que hará que la amplitud del movimiento tenga un valor máximo. 22 En la figura, la masa m está en equilibrio en el punto E (donde x = 0). Despreciando la fricción sobre la superficie inclinada y obtenga la ecuación del movimiento.

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 23 El extremo izquierdo del resorte con constante k1, cuyo desplazamiento es y, es actuado por la leva giratoria. El desplazamiento y(t) es una función dada. Cuando x = y = 0, ambos resortes están en su longitud libre. Despreciando la fricción en la superficie, obtenga la ecuación diferencial del movimiento en términos de x. Un objeto de masa m y peso w cae desde una altura h sobre una plataforma apoyada en un resorte, como se muestra en la figura. a) Determine la expresión para la velocidad v de la masa al tocar la plataforma y b) suponiendo que la masa no rebote contra la plataforma y que el resorte esté en su longitud libre cuando x = 0, determine la compresión máxima en el resorte en términos de los parámetros m, g, k y h.

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 25 Un vagón de masa 18000 k golpea a un amortiguador de colisión al final de la vía mientras se mueve a 1.3 m/s. La tensión del amortiguador es k = 73000 N/m y la constante de amortiguación es g = 88000 Ns/m. Sea x el desplazamiento del vagón después del contacto con el amortiguador (dirección positiva, derecha). Observe que x = 0 corresponde al resorte en su longitud libre. Suponga que el vagón no rebota contra el amortiguador. Determine la máxima compresión del resorte. 26 La varilla de la figura tiene un momento másico de inercia I0 alrededor del punto O. La fuerza aplicada f empuja la punta de la varilla hacia la derecha. Suponga que el desplazamiento x es suficientemente pequeño para que su movimiento sea esencialmente horizontal. Cuando x = 0, los resortes están en su longitud libre. Obtenga la ecuación diferencial de movimiento en términos de x.

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 27 Una masa m suspendida de un resorte con k = 2000 N/m está inicialmente en equilibrio estático. Si se le aplica una fuerza externa de Fe(t) = 50 cos 10t y se observa que la masa resuena bajo la influencia de esta fuerza. Determine el valor de la masa m. 28 Una masa de 2 k se suspende de un resorte y lo estira 0.2 cm. La masa se conecta a un amortiguador con constante g = 500 Ns/m. Partiendo del equilibrio estático, se aplica a la masa una fuerza externa de Fe(t) = 50 cos 10t. Obtenga una expresión para la velocidad de la masa en función del tiempo, v(t). También determine el valor máximo de la velocidad vmax y la diferencia de tiempo entre dos velocidades máximas. 29 Considere un péndulo de longitud L y masa m equilibrado verticalmente que al inicio se desplaza de su posición vertical de equilibrio estático en un ángulo q0. Al despreciar la resistencia y considerar que para ángulos pequeños, sen q  q, obtenga la ecuación diferencial que rige el movimiento oscilatorio del péndulo y extraiga de ella una expresión para el desplazamiento angular q suponiendo que el péndulo se libera con velocidad cero.

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 30 Considere un circuito en serie RLC con resistencia despreciable (R = 0 ) y sin voltaje impuesto. La carga inicial en el capacitor es q0 y la corriente inicial es cero. Haciendo w02 = 1/LC, resuelva el modelo para obtener expresiones para la carga en el capacitor q(t) y la corriente en el circuito i(t). 31 Considere un circuito en serie RLC con resistencia despreciable (R = 0) y un voltaje aplicado que cambia periódicamente, de la forma E(t) = E0 cos wt. Resuelva la ecuación diferencial rectora, haciendo w02 = 1/LC, para obtener una relación para la carga en el capacitor q en función del tiempo. Investigue qué pasa con la carga en el capacitor cuando t   para el caso especial de w = w0. 32 Considere un circuito en serie RLC sin voltaje impuesto. Resuelva la ecuación diferencial que lo modela para obtener expresiones para la carga en el capacitor, q(t), correspondientes a los casos en que el discriminante R2 – 4L/C sea positivo, negativo y cero. Extienda este problema para obtener la corriente en el circuito, i(t).

U-4.A-1. Cap. IX. Ejercicios. 33 Considere un circuito RLC en serie con L = 0.5 H, R = 2105 W y un voltaje aplicado E(t) = 5 cos 60t. Determine la corriente de estado estacionario en el circuito, i(t). También determine el valor de la capacitancia C que maximizará esta corriente, manteniendo constantes R y L. 34 Considere un circuito RLC en serie con R = 103 W, L = 0.5 H, C = 5106 F, al que no se aplica voltaje. La carga inicial en el capacitor es q0 = 8104 c. El interruptor se activa en el tiempo t = 0 y comienza a fluir la corriente por el circuito. Determine cuánto tardará en disminuir a la mitad la corriente máxima en el circuito.