Unidad 4. Capítulo VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes constantes.
con a, b y c constantes reales y a ≠ 0. U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Considere la siguiente ecuación lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes. con a, b y c constantes reales y a ≠ 0. Suponiendo que los coeficientes a, b y c son funciones continuas en todo el eje x, no se requiere especificar un intervalo para la solución. Así el teorema clave es: Una ecuación lineal de 2° orden con coeficientes constantes homogénea tiene 2 soluciones linealmente independientes y1 y y2, aplicables a cualquier intervalo. Su solución general es la combinación lineal y = C1 y1 + C2 y2.
y sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. El problema de encontrar las dos soluciones y1 y y2 se resuelve mediante un cuidadoso examen de la ecuación diferencial, en la que la función solución y sus derivadas pueden diferir, como máximo, por un múltiplo constante. La única función elemental cuyas derivadas son múltiplos constantes de la misma es la función exponencial erx, con r una constante. Así: y sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene:
y como erx ≠ 0, x R, se obtiene la ecuación: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. y como erx ≠ 0, x R, se obtiene la ecuación: llamada ecuación característica que produce los valores de r que caracterizan la solución de la ecuación dada. Del álgebra se sabe que una ecuación polinomial de grado n tiene n raíces bien contadas, por lo que la ecuación anterior tendrá las dos siguientes raíces r1 y r2. r1 y r2 pueden ser reales y distintas, reales e iguales o complejas, por lo que se requiere considerar cada caso por separado.
Caso 1: Raíces reales y diferentes.
entonces, (r1 ≠ r2) R implica que las soluciones: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Las raíces de la ecuación cuadrática ar2 + br + c = 0 son reales y diferentes cuando su discriminante es positivo. entonces, (r1 ≠ r2) R implica que las soluciones: son linealmente independientes, dado que su cociente no es constante. De manera que la solución general se representa mediante la combinación lineal:
Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: Ecuación lineal homogénea de 2° orden con coeficientes constantes, cuya ecuación característica se obtiene reemplazando y’’ por r2, y’ por r y y por 1 para obtener: que puede factorizarse en la forma: Así las raíces r1 = 1 y r2 = 2 son reales y distintas, por lo que la solución general de la ecuación diferencial es:
Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: En esta ecuación, al sustituir y’’ por r2 y y por 1 se obtiene la ecuación característica: que puede factorizarse en la forma: cuyas raíces r1 = 2 y r2 = 2 son reales y distintas, por lo que la solución general de la ecuación diferencial es:
U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Solución alterna: En términos de funciones hiperbólicas, cosh 2x y senh 2x, que relacionan las exponenciales e2x y e2x en la forma: Se puede demostrar que tanto estas funciones satisfacen la ecuación diferencial, por lo que son soluciones. Además, ambas son linealmente independientes. Entonces, la solución general de la ecuación diferencial se puede expresar en la forma:
Caso 2: Raíces reales e iguales.
U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Las raíces de la ecuación cuadrática ar2 + br + c = 0 son reales e iguales cuando su discriminante es igual a cero. como [r1 = r2 = b/(2a)] R, se tiene solamente una solución de la ecuación diferencial de la forma: La segunda solución linealmente independiente se obtiene aplicando el método de reducción de orden con y2 = v y1, de donde:
Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: Esta es una ecuación lineal homogénea de 2° orden con coeficientes constantes y su correspondiente ecuación característica es el trinomio cuadrado perfecto: cuyas raíces r1 = r2 = 3 son reales e iguales, lo que indica que este método solamente permite conocer una solución de la ecuación diferencial, que es:
por lo que la solución general es: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Así, la segunda solución linealmente independiente que se obtiene por el método de reducción de orden es: por lo que la solución general es: Observe que y1 es linealmente independiente de y2 dado que su cociente no es una constante:
Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: La ecuación característica de esta ecuación diferencial es el siguiente trinomio cuadrado perfecto: cuyas raíces son reales e iguales r1 = r2 = 4, por lo tanto, las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial son: y la solución general:
Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
y su combinación lineal se puede ordenar en la forma: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Las raíces de la ecuación cuadrática ar2 + br + c = 0 son complejas conjugadas cuando su discriminante es menor que cero. en este caso las raíces son de la forma r1,2 = l m i C, por lo que las soluciones de la ecuación diferencial son: y su combinación lineal se puede ordenar en la forma: Ahora, usando la forma polar en lugar de la exponencial:
Las siguientes combinaciones resultan en las expresiones equivalentes: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Las siguientes combinaciones resultan en las expresiones equivalentes: y al multiplicarlas por 1/2 y 1/(2i), respectivamente, se obtiene: Por lo que, la solución general en variable real de este tipo de ecuaciones diferenciales se escribe en la forma:
Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: Ecuación lineal homogénea de 2° orden con coeficientes constantes. Su ecuación característica es: Las raíces de esta ecuación son complejas conjugadas: Así, la solución general es:
Prueba: las derivadas 1ª y 2ª de la solución obtenida son: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Prueba: las derivadas 1ª y 2ª de la solución obtenida son: Al sustituir la solución y ambas derivadas en la ecuación diferencial se obtiene la igualdad:
Solución: La ecuación característica correspondiente es: U-4. Cap. VII. Ecuaciones homogéneas: Coeficientes Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la siguiente ecuación lineal homogénea de 2° orden con coeficientes constantes: Solución: La ecuación característica correspondiente es: y sus raíces son complejas conjugadas: Por tanto, la solución general es: