Apuntes de Matemáticas 3º ESO Polinomios U.D. 5 * 3º ESO E.Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES U.D. 5.9 * 3º ESO E.Ap. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIÓN ALGEBRAICA Es el cociente de dos polinomios. P(x) / Q(x) Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de números reales. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones, P(x) / Q(x) y M(x) / N(x) son equivalentes si: P(x) M(x) ----- = ------ , lo que implica que P(x).N(x) = Q(x).M(x) Q(x) N(x) Ejemplo x2 – 1 x – 1 ---------------- y -------- x2 – 2.x + 3 x – 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para que una fracción racional P(x) / Q(x) se pueda simplificar debe haber, al menos un factor común entre P(x) y Q(x). Ejemplo 1 x3 – 8 (x - 2).(x2 + 2.x + 4) x2 + 2.x + 4 --------  Factorizando  ---------------------------- = ------------------- x2 – 4 (x + 2).(x – 2) x + 2 Si un polinomio está dividido por un monomio, dicho monomio divide a todos y cada uno de los monomios del polinomio. NO SE PUEDE SIMPLIFICAR UN MONOMIO DEL POLINOMIO CON EL MONOMIO DIVISOR x3 + x2 + 2.x + 4 ------------------------ = x3 + 2.x + 4 MUY MAL OPERADO x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_2 Sea P(x) (x – 2).(x – 3).(x + 3)2 ------ = -------------------------------- Q(x) (x + 2).(x + 3).(x – 3)3 Eliminamos de la expresión los factores comunes, quedando: P(x) (x – 2).(x + 3) ------ = ---------------------- Q(x) (x + 2).(x – 3)2 EJEMPLO_3 Sea P(x) x2 – 6.x + 9 ------ = ------------------------------------------- , que factorizamos: Q(x) x2 – 9 P(x) (x – 3)2 (x – 3) ------ = --------------------------- = ---------- Q(x) (x – 3) .(x + 3) (x + 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Común denominador Para multiplicar o dividir fracciones NO se precisa realizar el m.c.m. o común denominador de los denominadores. Para sumar o restar fracciones es obligatorio realizar el m.c.m. o común denominador de los denominadores. Para sumar o restar fracciones el común denominador de los denominadores puede ser el producto de los mismos (no el m.c.m.). Pero no es nada recomendable. Para sumar o restar fracciones el común denominador debe ser el m.c.m. de los denominadores. Ejemplo x – 2 x + 4 (x – 2) + (x – 3).(x + 4) ----------- + ------------ = ----------------------------------------- = ……… (x – 3)2 (x – 3) (x – 3)2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Operaciones con fracciones Ejemplo_1 x 4 - x x + 4 - x 4 ------- + -------------- = --------------- = ---------- x – 3 x – 3 x – 3 x – 3 Ejemplo_2 1 x + 2 1 x + 2 ------- + ------------------ = ----------- + ------------------- = x – 3 x2 – 9 (x – 3) (x + 3).(x – 3) x + 3 x + 2 2.x + 5 2.x + 5 ------------------- + ------------------ = -------------------- = --------------- (x – 3).(x + 3) (x – 3).(x + 3) (x + 3).(x – 3) x2 – 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_3 x 7.x - 9 x 7.x - 9 ------- -- ------------------ = ----------- -- -------------------- = x – 3 x2 – 2x – 3 x – 3 (x – 3).(x + 1) M.c.m. =(x – 3).(x + 1) x. (x+1) - (7.x – 9 ) x2 + x – 7.x + 9 x2 - 6.x + 9 = ---------------------------- = ------------------------ = ------------------- = (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) Se factoriza el numerador siempre que sea posible: (x – 3).( x – 3) x – 3 = --------------------- = ---------- , que es la solución simplificada. (x – 3).(x + 1) x + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_4 x x2 – 9 x.(x2 – 9) x.(x + 3).(x – 3) x.(x + 3) ------- . ----------- = ------------------ = --------------------- = --------------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x +1) (x – 3).(x +1) x + 1 Ejemplo_5 x2 – 4 x2 – 9 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) --------- . ----------- = --------------------------------------- = (x – 2).(x – 3) x + 3 x + 2 (x + 3).(x +2) Ejemplo_6 x – 4 9 – y2 (x – 4).(3 + y).(3 – y) 3 – y -------- . ------------ = ------------------------------ = ---------- y + 3 x2 – 16 (y + 3).(x + 4).(x – 4) x + 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_7 x – 1 x + 3 (x – 1).(x + 1) x2 – 1 ------- : ----------- = ------------------ = ---------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x + 3) x2 – 9 Ejemplo_8 x2 – 4 x – 2 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) --------- : ----------- = --------------------------------------- = (x + 2).(x + 3) x – 3 x2 – 9 (x – 3).(x – 2) Ejemplo_9 x – y x2 – y2 (x – y).(x + y) 1 ---------- : ----------- = ------------------------------------ = ------------------ y2 – x2 x + y (y + x).(y – x).(x + y).(x – y) (y + x).(y – x) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO