INFERENCIA ESTADÍSTICA U.D. 13 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS DE CONFIANZA U.D. 13.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS DE CONFIANZA En una población cuya distribución es conocida (bien sea Binomial o Normal) pero desconocemos algún parámetro (la media o la desviación típica), podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra significativa. Un estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporciona información sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es un estimador de la media poblacional, así como la proporción observada en la muestra es un estimador de la proporción de la población. ESTIMACIÓN PUNTUAL Una estimación es puntual cuando se obtiene un solo valor para el parámetro. Pero ello es necesario cuantificar el riesgo que se asume, pues el error típico de estimación (desviación típica de las muestras) puede ser considerable. Más útil es la estimación por intervalos, en la que calculamos dos valores entre los que se encontrará el parámetro, con un nivel de confianza fijado de antemano. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Si la variable x tiene una distribución de media μ, se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media, (μ - k, μ + k), tal que la probabilidad de que x pertenezca a dicho intervalo es p: P(μ – k < x < μ + k) = p Área=(1 – p) / 2 Área = p Área=(1 – p) / 2 k μ k @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo 1 Ejemplo_1 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,9. Si dentro del intervalo hay un área (probabilidad) de 0,9, fuera de él habrá 0,1 (1 – 0´9 = 0´1). Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,05 (0,1 / 2 = 0,05). Por tanto: P (z > k) = 0,05  P (z ≤ k) = 0,95 En las tablas encontramos Ф(1,64) = 0,9495, Ф (1,65) = 0,9505. Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1,64 y 1,65. Es decir, k = 1,645 y, por tanto, P (-1,645 < z < 1,6451) = 0,9. Hemos encontrado un intervalo [-1,645; 1,6451], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 90% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Gráfica del intervalo ejemplo Área=0,05 Área=0,9 Área=0,05 k 0 k @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

PRINCIPALES VALORES CRÍTICOS En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Principales valores críticos 1 – α α/2 zα/2 0,9 0,05 1,645 0,95 0,025 1,96 0,99 0,005 2,575 k 0 k=zα/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo 2 Ejemplo_2 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,95. Si dentro del intervalo hay un área (probabilidad, p) de 0,95, fuera de él habrá 0,05 (1 – p = 1 – 0,95 = 0,05). Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,025. Por tanto: P (z > k) = 0,025  P (z ≤ k) = 0,975 En las tablas encontramos Ф(1,96) = 0,975. Hemos encontrado un intervalo [-1,96; 1,96], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 95% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Ejemplo 3 Ejemplo_3 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,99. Si dentro del intervalo hay un área (probabilidad, p) de 0,99, fuera de él habrá 0,01 (1 – p = 1 – 0,99 = 0,01).. Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,005. Por tanto: P (z > k) = 0,005  P (z ≤ k) = 0,995 En las tablas encontramos Ф(2,57) = 0,9949 y Ф(2,58) = 0,9951 Tomamos un valor intermedio entre ambos: k = 2,575, que nos asegure o aproxime a que su probabilidad sea p=0,9950 Hemos encontrado un intervalo [-2,575; 2,575], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 99% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Intervalos en N(μ, σ) A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar N( 0, 1) , mediante el cambio de variable: X – μ Z = --------- σ Operando tenemos: X - μ = Z.σ  X = μ + Z.σ En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p = 1 – α es: (μ – X , μ + X) (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Ejemplos de intervalos Para el 90% y una distribución N(50, 6), hallar el intervalo. (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 1,645.6 , 50 + 1,645.6) = = ( 50 – 9,87, 50 + 9,87) = (40,13, 59,87) Ejemplo 2 Para el 95% y una distribución N(50, 6), hallar el intervalo. (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 1,96.6 , 50 + 1,96.6) = = ( 50 – 11,76, 50 + 11,76) = (38,24, 61,76) Ejemplo 3 Para el 99% y una distribución N(50, 6), hallar el intervalo. (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 2,575.6 , 50 + 2,575.6) = = ( 50 – 15,45, 50 + 15,45) = (34,55, 65,45) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS