APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 8 * 2º BCS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN U.D. 8.5 * 2º BCS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN En el campo científico, económico, social o político, nos encontramos con funciones que hay que OPTIMIZAR, es decir hallar los puntos máximos y/o mínimos. FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) PRINCIPAL Es aquella que el enunciado nos señala que su valor debe ser el mayor posible (Máximo) o el menor posible (Mínimo). Si presenta una sola incógnita, y = f(x), se deriva la expresión respecto de la misma y la derivada se iguala a cero. Resolviendo la ecuación resultante tendremos el valor de ‘x’ para el cual el valor de la función, el valor de ‘y’ , es máximo o mínimo. FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) AUXILIAR Tenemos que obtener del enunciado tantas ecuaciones auxiliares como incógnitas menos una. Despejando y sustituyendo, al final tendremos que tener una sola ecuación , la principal, con una sola incógnita. Derivamos respecto de dicha incógnita e igualamos a cero la expresión derivada. Resolviendo la ecuación habremos encontrado el valor o valores de las incógnitas para los cuales la función presenta un valor máximo o mínimo relativo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Problema 3 OPTIMIZACIÓN Una hoja de papel de plata debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior, inferior, izquierdo y derecho deben ser de 2 cm, 2 cm, 3 cm y 1 cm respectivamente. Determinar las dimensiones de la hoja para tener el menor gasto de papel. Resolución: Sean x = ancho texto impreso e y= largo del texto impreso Ecuación Principal: S = (3+x+1).(2+y+1) Ecuación Auxiliar: x.y = 18 3+x+1 x.y=18 2+y+2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución: Sean x = ancho texto impreso e y= largo del texto impreso Ecuación Principal: S = (3+x+1).(2+y+1) Ecuación Auxiliar: x.y = 18 Despejamos y: y = 18 / x La sustituimos en la ecuación principal: S = (x+4).(y+3) = (x+4).( 3 + 18/x) S = 3.x + 12 + 18 + 72 / x S´ = 3 + 0 + 0 – 18 / x2 = 0 3 = 18 / x2  x2 = 18 / 3 = 6 x = √ 6 y = 18 / √ 6 = 3. √ 6 3+x+1 x.y=18 2+y+2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Problema 4 OPTIMIZACIÓN Un camión transporta 10.000 kg entre naranjas, peras y limones. El número de kg de naranjas siempre es el doble que el de limones. Debido al transporte pierde 0,5 €, 0,75 € y 1 € respectivamente por cada kg naranjas, peras y limones. Hallar los kg de naranjas, peras y limones que debe transportar en cada viaje para que las pérdidas sean lo menor posible. Resolución: Sean x, y, z los kg de naranjas, peras y limones transportados. Ecuación Principal: Pérdidas: P = 0’5.x+0’75.y+1.z ( tres incógnitas) Ecuaciones Auxiliares: 10.000 = x + y + z x = 2.z @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución: Ecuación Principal: P = 0’5.2.z + 0’75.y + z = 0,75.y + 2.z Ecuación Auxiliar: 10.000 = 2.z + y + z = y + 3.z Despejamos y: y = 10.000 – 3.z La sustituimos en la ecuación principal: P = 0,75.(10.000 – 3.z) + 2.z P = 7.500 – 0,25.z P´ = - 0,25 = 0 ; Lo cual es imposible de cumplirse  NO hay valor Mín ni Máx Si P = 0  z = 7.500 / 0,25 = 30.000 kg , que es imposible. Si z = 6.666 kg  x = 3.333 kgr  P = 7.500 – 1.667 = 5.833 € es la solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Problema 5 OPTIMIZACIÓN Con un alambre de 1 m de longitud hemos formado un rectángulo de doble largo que ancho y un círculo. ¿Qué dimensiones deben tener dichas figuras para que la suma de sus áreas sea lo mayor posible?. Sean a y b las dimensiones del rectángulo. Sea r el radio del círculo. r b a Dato del problema: 1 = 2·a + 2·b + 2·π·r @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Resolución: Ecuación Principal: Suma de Áreas: S = a.b + π.r2 ( tres incógnitas) Ecuaciones Auxiliares: Suma de Perímetros 1 = (2.a+2.b) + (2. π.r) b = 2.a Sustituimos b en las otras dos ecuaciones: Ecuación Principal: S = a.2.a + π.r2 = 2.a2 + π.r2 Ecuación Auxiliar: 1 = 2.a+2.2.a + 2. π.r = 6.a + 2. π.r Despejamos a o r: a = (1 – 2. π.r) / 6 = 0’167 – 1’047.r La sustituimos en la ecuación principal: S = 2.(0’167 – 1’047.r ) 2 + π.r2 S = 0’056 – 0’7.r + 2’192.r2 + 3,14.r2 ; que derivando queda: S’ = - 0,7 + 4’384.r + 6’28.r = 0 ,, 10’664.r = 0,7  r = 0,065 m Como a = 0’167 – 1’047.r = (0,167 – 0,068) = 0,099 Y por tanto b= 2.a = 2.0’099 = 0,198 P = 0,198 + 0,396 + 0,406 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Problema 6 OPTIMIZACIÓN El beneficio de una empresa de automóviles viene dado por B(x)= – 20000000 + 800000.x – 0,2.x3 , donde x es el número de vehículos producidos semanalmente. Hallar la producción que hace máximo el beneficio, en el supuesto de que la empresa pueda fabricar semanalmente: a) Hasta 800 vehículos. b) Menos de 1200 vehículos. Resolución: La función es cúbica: Tendrá un máximo y un mínimo relativo. B’(x) = 800000 – 0,6.x2 = 0  x2 = 800000/0,6 = 1333333  x = 1155 B(1155) = – 20000000 + 800000.1155 – 0,2.11553 = =– 200000000+924999999 – 308159775 = 415 840 225 a) Como 800 es menor del máximo relativo, calculamos su beneficio: B(800) = – 20000000 + 800000.800 – 0,2.8003 = =– 200000000+640000000 – 102400000 = 337 600 000 b) Como 1155 es menor de 1200, 1155 es la solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 10 10

Problema 7 OPTIMIZACIÓN El beneficio de un manantial, en miles de € diarios, es: B(x)= – x2 + 10.x – 21 , donde x es el precio al que se vende la botella de agua. Hallar el precio que hace máximo el beneficio, así como dicho beneficio. Resolución: La función es cuadrática y convexa, pues a= -1 >0 Tendrá un máximo relativo en el vértice. B’(x) = – 2.x + 10 = 0  x = 5 € la botella. B(5) = – 25 + 50 – 21 = 50 – 46 = 4 miles de € diarios. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 11 11

Problema 8 OPTIMIZACIÓN La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300 1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último. 2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron. Resolución La derivada primera es: C´ = 0.03x2 − 0.90x + 2.43 = 0 x2 − 30x + 81 = 0 x = [30 +/- √(900 – 324)]/2 = (30 +/- 24)/2 = 3 y 27 C(3) = 0.01.27 – 0.45.9 + 2.43.3 + 300 = 303,54  Máximo C(27) = 0.01.19683 – 0.45.729 + 2.43.27 + 300 = 234,39  Mínimo Crecieron del 0 al día 3, decrecieron del 3 al 27 y crecieron del 7 al 30. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Problema 9 OPTIMIZACIÓN Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por: r = 300t (1−t). Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide: 1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? 2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? 3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? Resolución Sea r = 300.t – 300.t2 La derivada primera es: r´ = 300 − 600.t 300 – 600.t = 0  t = 300/600 = ½  Máximo o Mínimo relativo r(0,25) = 300.0´25 – 300.0,0625 = 56,25 r(0,50) = 300.0´50 – 300.0,25 = 150 – 75,50 = 75,50 Aumenta de 0 a ½ hora, disminuyendo después hasta la hora. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROBLEMA 10 En un rectángulo de 40 x 60 cm inscribimos otro rectángulo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de este segundo rectángulo para que su perímetro sea el menor posible?. Resolución parcial: Las rectas que forman los dos lados diferentes deben ser perpendiculares para que sea un rectángulo. Coordenadas de los puntos que forman las rectas: P1(0 , p) , P2(40 – q , 0) y P3(60 , q) Los cuatro triángulos formados entre ambos rectángulos son semejantes. 60 60 – p p q P2 40 – q P1 40 P3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.