NÚMEROS COMBINATORIOS U.D. 2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT BINOMIO DE NEWTON U.D. 2.4 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT FACTORIALES El número de permutaciones de n elementos es: Pn= n· (n– 1) · (n– 2) · ... · 3 · 2 · 1 A este producto de n factores decrecientes a partir de n se le designa por n! que se lee “factorial de n” o “n factorial”. Por ejemplo, 2! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 El valor de n! crece enormemente deprisa al aumentar n. Por ejemplo: 10! = 3 628 000 20! tiene 18 cifras Los números que se obtienen al aplicar la fórmula de las combinaciones, Cm, n, se llaman números combina­torios y se suelen designar así: (). Se lee m sobre n. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

NÚMEROS COMBINATORIOS Dados dos números naturales, m y n, donde m ≥ n , se denomina número combinatorio y se lee “m sobre n” a Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1 PROPIEDADES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

NÚMEROS COMBINATORIOS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

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Matemáticas 1º Bachillerato CT APLICACIÓN Ana y Luis son una pareja que van a pasar una semana de vacaciones. Tienen 7 libros de lectura, pero en la mochila sólo hay hueco para 4. El número de posibles elecciones es: C (7,4) = 35 Pero en el momento de hacer la elección surge una pequeña diferencia de criterio: Ana exige que uno de los libros sea “El quijote”, mientras que Luis rechaza esta posibilidad. ¿Cuántas son las posibilidades que admite Ana? Tantas como formas de seleccionar los 3 libros acompañarán a “El quijote”, es decir: C(6,3) = 20 ¿Cuántas son las posibilidades que admite Luis? Tantas como formas de seleccionar 4 libros de entre los 6 que no son “El quijote”, es decir: C(6,4 ) = 15 Si seleccionan 4 objetos, uno de los dos se saldrá con la suya. Es decir, que cualquier posible selección o es de las que quiere Ana, o es de las que quiere Luis. Por tanto: C(6,4 )+ C(6,3 )= C(7,4 ) Si en lugar de 7 libros tuvieran m, y en la mochila en vez de 4 cupiesen n: C m-1, n + C m-1, n-1 = C m, n @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT BINOMIO DE NEWTON Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes: (a+b) = 1 1 1 (a+b) = a + b 1 1 2 2 2 (a+b) = a + 2.a.b + b 1 2 1 3 3 2 2 3 (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b 1 3 3 1 4 4 3 2 2 3 4 (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b 1 4 6 4 1 ............ = ..................... Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo llamado Triángulo de Tartaglia @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROPIEDADES Sea el siguiente desarrollo: (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 PROPIEDADES 1.- El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno. 2.- Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él. 3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 4.- El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Sea el siguiente desarrollo: (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 PROPIEDADES 5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. 6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 7.- Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo. 8.- Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLOS (x + 2)5 = C5,0 .x5 + C5,1 .x4 .2 + C5,2 .x3 .4 + C5,3 .x2 .8 + C5,4 .x .16 + C5,5 . 32 (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 (4 – x)5 = C5,0 .45 – C5,1 .44 .x + C5,2 .43 . x2 – C5,3 .42 . x3 + C5,4 . 4. x4 – C5,5 . x5 (x + 1)17 = C17,0 .x17 + C17,1 .x16 + C17,2 .x15 + …. + C17,16 .x + C17,17 (x + 3)5000 = C5000,0 .x5000 + C5000,1 .x4999 .3 + C5000,2 .x4998 .9 + … + C5000,5000 . 35000 (– 2.x – 3)9 = C9,0 .(- 2x)9 + C9,1 .(- 2x)8 .(- 3) + C9,2 .(- 2x)3 .(- 3)2 +…. + C9,9 .(- 3)9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 k k m-k m m (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . a . b + ... + C . b m m m m m Ejemplo 1 Hallar el término que ocupa el 6ª lugar en el desarrollo de : 8 (3 - x) Tendrá 9 términos su desarrollo ( 8 + 1 ), pero sólo nos piden el 6º término. Seguimos desarrollando el T. de Tartaglia hasta la 9ª fila, obteniendo: 1 8 28 56 70 56 28 8 1 , tomamos el 56 Igualmente podíamos haber hecho C8,6-1 = C8,5 = 56 Como ocupa lugar par, y el binomio es una resta, pondremos -56 al coeficiente. Ahora, en nuestro ejemplo: a=3 y b= x 8 3 5 Finalmente aplicando restantes propiedades : (3-x) = ... - 56. 3 . x + ... @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 Hallar el término que ocupa el 8ª lugar en el desarrollo de : 11 (x + 2) Tendrá 12 términos su desarrollo ( 11 + 1 ), pero sólo nos piden el 8º término. C11,8-1 = C10,7 = 10! / 7!.3! = 10.9.8/6 = 15.8=120 11 4 7 4 Finalmente queda: (x+2) = ... + 120. x . 2 + ... = 15360.x Ejemplo 3 Hallar el término que ocupa el 3ª lugar en el desarrollo de : 27 (x - 5) Tendrá 28 términos su desarrollo ( 17 + 1 ), pero sólo nos piden el 3º término. C27,3-1 = C27,2 = 27! / 2!.25! = 27.26/2 = 351 27 25 2 25 Finalmente: (x – 5) = ... – 351. x . 5 + ... = … – 8775.x + … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT