SEMEJANZA U. D. 7 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TEOREMAS DE LA SEMEJANZA U. D. 7.6 * 4º ESO E. AP. TEOREMAS DE LA SEMEJANZA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TEOREMA DE LA ALTURA En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Los triángulos ABC y ABH son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo B que comparten. Asimismo los triángulos ABC y AHC son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo C que comparten. A Por tanto los triángulos ABH y AHC son semejantes. Se cumplirá pues el Teorema de Tales, al ser semejantes los dos triángulos resaltados: h n ---- = -----  h2 = m.n m h h B H C m n a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 cm. Hallar la altura y los lados del triángulo. Por el Teorema de la altura: h2 = m.n h2 = 4.9 = 36  h = 6 cm Por Pitágoras: c2 = h2 + m2 = 36 + 16 c2 = 52  c = 7,2111 cm b2 = h2 + n2 = 36 + 81 b2 = 117  b = 10,8166 cm a = m +n = 4+9 = 13 cm Comprobamos: Por Pitágoras: a2 = b2 + c2 132 = 10,812 + 7,212 169 = 117 + 52 ; 169 = 169 A b c h B H C m = 4 n = 9 a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo la proyecciones del cateto c sobre la hipotenusa mide 4 cm y la altura mide 5 cm. Hallar los lados del triángulo. Por el Teorema de la altura: h2 = m.n 52 = 4.n  n = 25 / 4 = 6,25 cm Por Pitágoras: c2 = h2 + m2 = 25 + 16 c2 = 41  c = 6,4031 cm b2 = h2 + n2 = 25 + 39,0625 b2 = 64,0625  b = 8,004 cm a = m +n = 4 + 6,25 = 10,25 cm Comprobamos: Por Pitágoras: a2 = b2 + c2 10,252 = 8,0042 + 6,402 105,0625 = 64,0625 + 41 A b c h = 5 B H C m = 4 n a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TEOREMA DEL CATETO En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. Si el cateto a considerar es “c”, entonces “m” es la proyección de “c” sobre la hipotenusa “a”. Si el cateto a considerar es “b”, entonces “n” es la proyección de “b” sobre la hipotenusa “a”. A Por tanto podemos escribir la proporción: m c ---- = -----  c2 = a.m c a E igualmente: n b ---- = -----  b2 = a.n b a b c h H m n B a C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 En un triángulo rectángulo la proyección del cateto c, de 6 cm de longitud, sobre la hipotenusa mide 4 cm. Hallar el valor de la altura, del otro cateto y de la hipotenusa. Por el Teorema del cateto: m c --- = --- c a c2 = m.a  36 = 4.a Luego: a = 36/4 = 9 cm Por Pitágoras: h2 = c2 – m2 = 36 – 16 h2 = 20  h = 4,4721 cm b2 = a2 – c2 = 81 – 36 b2 = 45  b = 6,7082 cm A b c=6 h B H C m = 4 a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo la proyección del cateto b sobre la hipotenusa mide 4 cm. Hallar el valor de la altura y de los catetos, sabiendo que la hipotenusa mide 9 cm. Por el Teorema del cateto: n b --- = --- b a b2 = n.a  b2 = 4.9 = 36 Luego: b = √36 = 6 cm Por Pitágoras: h2 = b2 – n2 = 36 – 16 h2 = 20  h = 4,4721 cm c2 = a2 – b2 = 81 – 36 c2 = 45  c = 6,7082 cm A b c h B H C n = 4 a = 9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO En un triángulo cualquiera el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Por Pitágoras, en el triángulo AHC, tenemos: b2 = h2 + n2 Como n = a – m y h2 = c2 - m2 en el triángulo AHB Resulta: b2 = c2 - m2 + (a – m)2 Operando queda: b2 = c2 - m2 + a2 – 2.a.m + m2 b2 = c2 + a2 – 2.a.m A b c h H m n a B C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 En un triángulo cualquiera dos de sus lados miden 7 cm y 5 cm y la proyección del segundo sobre el primero mide 2 cm. Hallar el tercer lado. A Como sabemos que, por el Teorema de Pitágoras generalizado: b2 = c2 + a2 – 2.a.m Sustituyendo valores: b2 = 52 + 72 – 2.7.2 b2 = 25 + 49 – 28 b2 = 46  b = √46 = 6,78 cm b c= 5 cm B m=2 cm a = 7 cm C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO En un triángulo cualquiera el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. A Por Pitágoras, en el triángulo AHC, tenemos: b2 = h2 + (a + m)2 Como h2 = c2 - m2 en el triángulo AHB Resulta: b2 = c2 - m2 + (a + m)2 Operando queda: b2 = c2 - m2 + a2 + 2.a.m + m2 b2 = c2 + a2 + 2.a.m b h c m H B a C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 En un triángulo obtuso cualquiera dos de sus lados miden 5 cm y 4,27 cm y la proyección del segundo sobre el primero mide 1,50 cm. Hallar el tercer lado. Como sabemos que, por el Teorema de Pitágoras generalizado: b2 = c2 + a2 + 2.a.m Sustituyendo valores: b2 = 52 + 4,272 – 2.5.1,5 b2 = 25 + 18,25 + 15 b2 = 58,25  b = √58,25 b = 7,63 cm A b c=4,27 m=1,5 H B a=5 C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.