U.D. 9 * 2º BCS GRÁFICAS DE FUNCIONES

GRÁFICA DE POLINÓMICAS U.D. 9.2 * 2º BCS GRÁFICA DE POLINÓMICAS

Matemáticas Aplicadas CS I A tener en cuenta Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones polinómicas, y = P(x) 1.- Cortes con los ejes. 2.- Máximos y mínimos relativos. 3.- Ramas infinitas, asíntotas o tendencia. 4.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Otros apartados auxiliares para conseguir una mayor precisión son: 5.- Puntos de inflexión. 6.- Intervalos de concavidad y convexidad. 7.- Simetría. 8.- Tabla de Valores. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Gráficas de f. polinómicas 1.- CORTES CON LOS EJES Corte con el eje de ordenadas, OY: x = 0  y = f (0) Pc ( 0, f(0) ) Corte con el eje de abscisas, OX: f(x) = 0  xi = Raíces de la función f(x) EJEMPLO 1 y = x3 – 3.x + 2 Corte con OY  x = 0  y = 2  Pc (0,2) Corte con OX  y = 0  x3 – 3.x + 2 = 0 Por el Teorema del Resto: P(1) = 1 – 3 + 2 = 0  Pc (1, 0) Aplicando Ruffini al tener ya una raíz: C(x) = x2 + x – 2 Resolviendo la ecuación de segundo grado: x = 1 , x = - 2 Luego los otros dos puntos de corte son: Pc (1, 0) y Pc (- 2, 0) Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 2.- MAXIMOS Y MÍNIMOS Si f (x) tiene un extremo relativo en x=xo y existe f ‘(x), entonces: f ‘ (x) = 0 Si f ”(xo) > 0, entonces f tiene en xo un MÍNIMO RELATIVO. Si f ”(xo) < 0, entonces f tiene en xo un MÁXIMO RELATIVO. Ejemplo 1 y = x3 – 3.x + 2 Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = 3.x2 – 3 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3.x2 – 3 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: 3.x2 – 3 = 0  3.x2 = 3  x2 = 1  x = 1 , x = - 1 Hallamos las ordenadas correspondientes, los valores de f (x): f(1) = 13 – 3.1 + 2 = 0  P (1, 0) es un Máx, o Mín f(-1) = (-1)3 – 3.(-1) + 2 = 4  P (-1, 4) es un Máx, o Mín Miramos si es máximo o mínimo, por la derivada segunda: y ‘’ = 6.x  f ‘’ (1) = 6.1 = 6 > 0  P (1, 0) es un MÍNIMO y ‘’ = 6.x  f ‘’ (-1) = 6.(-1) = - 6 < 0  P (-1, 4) es un MÁXIMO @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 3.- RAMAS INFINITAS o TENDENCIA Las funciones polinómicas, y = P(x), no presentan asíntotas verticales, ni horizontales ni oblicuas. Pero es interesante saber la tendencia, los límites cuando x tiende a + oo o - oo Ejemplo 1 y = x3 – 3.x + 2 Ramas infinitas Lím x3 – 3.x + 2 = x  - oo = (- oo)3 – 3.(- oo) + 2 = - oo3 + 3.oo + 2 = - oo Lím x3 – 3.x + 2 = (oo)3 – 3.(oo) + 2 = oo3 - 3.oo + 2 = + oo x  + oo = (oo)3 – 3.(oo) + 2 = oo3 - 3.oo + 2 = + oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 4.- INTERVALOS DE CRECIMIENTO Si f ‘ (x) > 0 y x c (a, b)  la función es CRECIENTE en ( a, b). Si f ‘ (x) < 0 y x c (a, b)  la función es DECRECIENTE en (a, b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función polinómica están limitados por los puntos singulares. Ejemplo 1 y = x3 – 3.x + 2 Su derivada era y ‘ = 3.x2 – 3  x = -1 y x = 1 eran los puntos singulares. Los intervalos a estudiar son: (-oo, -1) , (-1, 1) y (1, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ ( -2) = 3.(-2)2 – 3 = 12 – 3 = 9 > 0  Creciente en (- oo, -1) f ’ ( 0) = 3.(0)2 – 3 = 0 – 3 = - 3 < 0  Decreciente en (- 1, 1) f ’ ( 2) = 3.(2)2 – 3 = 12 – 3 = 9 > 0  Creciente en (1 , + oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 5.- PUNTO DE INFLEXIÓN Una función continua f tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en x= xo , si en ese punto la función cambia su curvatura, es decir si pasa de cóncava a convexa o viceversa. Dada una función f y un punto xo perteneciente a su dominio, si se verifica que f “(xo) = 0 y f ‘’‘ (xo) <> 0 , entonces f posee en x=xo un PUNTO DE INFLEXIÓN. Ejemplo 1 y = x3 – 3.x + 2 Su derivada era y ‘ = 3.x2 – 3 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = 6x Igualamos a cero: 6.x = 0  x = 0 es la abscisa del posible punto de inflexión. Comprobamos que lo es hallando la tercera derivada: y’’’ = 6  f ‘’’ (0) = 6 <> 0 En x = 0 hay un P. de Inflexión. Hallamos su ordenada: f(0) = 03 – 3.0 + 2 = 2  PI (0, 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 6.- CURVATURA Si f “ (x) < 0, para todo x c ( a, b)  f es CONVEXA en (a, b) Si f “ (x) > 0, para todo x c ( a, b)  f es CÓNCAVA en (a, b) Los puntos donde se delimita la curvatura son los puntos de inflexión. En gráficas polinómicas sencillas no es muy relevante. 7.- SIMETRÍA Si f(x) = f( - x)  Simetría PAR. Si f(x) = - f( - x)  Simetría IMPAR. Ejemplo 1 f(x) = x3 – 3.x + 2  f(– x) = – x3 + 3.x + 2  – f(– x) = x3 – 3.x – 2  No hay simetría alguna. 8.- TABLA DE VALORES Lo usual es que la Tabla de Valores sea una recopilación de los puntos obtenidos en los apartados anteriores: Cortes, máximos y mínimos, puntos de inflexión; y sólo en caso necesario algún punto más. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I GRÁFICA DEL EJEMPLO 1 Sea la función: y = x3 – 3.x + 2 Puntos de corte: Pc(0,2), Pc(1,0) y (-2,0) Máximo: Máx(-1, 4). Mínimo: Mín(1,0) Creciente en (- oo, -1) Decreciente en (- 1, 1) Creciente en (1 , + oo) Punto de Inflexión: PI(0, 2) No presenta simetrías. 4 2 - 2 -1 0 1 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Gráficas de f. polinómicas 1.- CORTES CON LOS EJES EJEMPLO 2 y = (1/4).x4 – 2.x2 Con OY  x = 0  y = 0  Pc (0,0) Con OX  y = 0  (1/4).x4 – 2.x2 = 0 Sacando factor común a x2 x2 [ (1/4).x 2 – 2 ] = 0 x2 = 0  x=0  Pc(0, 0) (1/4).x 2 – 2 = 0  x 2 = 8  x = ± 2√2 Luego los otros dos puntos de corte son: Pc ( - 2√2 , 0) y Pc ( + 2√2, 0) Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden. IMPORTANTE: Ver que hay simetría PAR, pues f(x) = f(-x) al ser todo potencias pares. La gráfica debe ser simétrica respecto al eje OY. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 y = (1/4).x4 – 2.x2 Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = x3 – 4.x Igualamos a cero: y ‘ = 0  x3 – 4.x = 0 Resolviendo la ecuación: x.(x2 – 4) = 0  x.(x – 2).(x + 2) = 0  x = 0  x = 2 , x = - 2 Hallamos las ordenadas correspondientes, los valores de f (x): f(0) = 0  P (0, 0) es un Máx, o Mín f(2) = (1/4).2 4 – 2.2 2 = – 4  P (2, - 4) es un Máx, o Mín f(-2) = (1/4).(-2)4 – 2.(-2)2 = – 4  P (-2, - 4) es un Máx, o Mín Miramos si es máximo o mínimo, por la derivada segunda: y ‘’ = 3.x2 – 4  f ‘’ (0) = 0 – 4 = - 4 < 0  P (0, 0) es un Máximo y ‘’ = 3.x2 – 4  f ‘’ (2) = 12 – 4 = 8 > 0  P (2, -4) es un Mínimo y ‘’ = 3.x2 – 4  f ‘’ (-2) = 12 – 4 = 8 > 0  P (-2, -4) es un Mínimo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 y = (1/4).x4 – 2.x2 Ramas infinitas Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(- oo)4 – 2.(- oo)2 = + oo x  - oo Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(oo)4 – 2.(oo)2 = + oo x  + oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 y = (1/4).x4 – 2.x2 Su derivada era y ‘ = x3 – 4.x En x = 0 había un máximo relativo. En x = 2 había un mínimo relativo. En x = -2 había un mínimo relativo. Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2) , (-2, 0) , ( 0, 2) y (2, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ ( -3) = (-3)3 – 4.(-3) = - 27 + 12 = - 15 < 0   Decreciente en (- oo, -2) f ’ ( -1) = (-1)3 – 4.(-1) = - 1 + 4 = 3 > 0   Creciente en (- 2, 0) f ’ ( 1) = (1)3 – 4.(1) = 1 – 4 = - 3 < 0   Decreciente en (0, 2) f ’ ( 3) = (3)3 – 4.(3) = 27 – 12 = 15 > 0   Creciente en (2, oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 y = (1/4).x4 – 2.x2 Su derivada era y ‘ = x3 – 4.x Hallamos la segunda derivada: y ’’ = 3.x2 – 4 Igualamos a cero: 3.x2 – 4 = 0  x2 = 4/3  x = ±√1,3333 = ± 1,1547 son las abscisas de los posibles puntos de inflexión. Comprobamos que lo es hallando la tercera derivada: y’’’ = 6.x  f ‘’’ (1,1547) <> 0 En x = 1,1547 hay un P.I. y’’’ = 6.x  f ‘’’ (- 1,1547) <> 0 En x = - 1,1547 hay un P.I. Hallamos sus ordenadas: f(1,1547) = (1/4).(16/9) – 2.(4/3) = 4/9 – 8/3 = -20/9  PI (1,1547, -20/9) f(-1,1547) = (1/4).(16/9) – 2.(4/3) = 4/9 – 8/3 = -20/9  PI (-1,1547, -20/9) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I GRÁFICA DEL EJEMPLO 2 Sea la función: y = (1/4).x4 – 2.x2 Pc(0,0), Pc(2√2,0) y (-2√2,0) P (0, 0) es un Máximo relativo P (2, -4) es un Mínimo relativo P (-2, -4) es un Mínimo relativo Decreciente en (- oo, -2) Creciente en (- 2, 0) Decreciente en (0, 2) Creciente en (2, oo) Punto de Inflexión: PI (1,1547, -20/9) PI (-1,1547, -20/9) Presenta simetría PAR. y -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I