INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Miguel Mellado E. Clase 5-6 2017

Un problema de minimización Miniconstruc es una pequeña empresa de remodelación, especializada en construir piscinas y jardines. La empresa para incrementar su clientela, quiere emprender una campaña publicitaria y tiene que decidir comprar los tiempos de anuncios en dos tipos de programas: del corazón y fútbol. Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres. Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres. Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 M$ y un anuncio del fútbol cuesta 100.000 M$. Miniconstruc quisiera que los anuncios sean vistos por lo menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres. Miniconstruc quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que el costo de la campaña publicitaria sea mínimo.

Formulación del problema: Cada programa del corazón es visto por 6 MM de mujeres y 2 MM de hombres. Cada partido de fútbol es visto por 3 MM de mujeres y 8 MM de hombres. Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 M$ y un anuncio del fútbol cuesta 100.000 M$. Miniconstruc quisiera que los anuncios sean vistos por lo menos 30 MM de mujeres y 24 MM de hombres. Miniconstruc quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo. Sea: X número de anuncios en programa del corazón Y número de anuncios en fútbol Corazón X Fútbol Y Mujeres MM 6 3 6x + 3y ≥ 30 Hombres MM 2 8 2x + 8y ≥ 24 Coste MM$ 50 100 50x +100y

Formulación del problema: Min z = 50x + 100y (función objetivo en MM$) s.a: 6x + 3y ≥ 30 (millones de mujeres) 2x + 8y ≥ 24 (millones hombres) x ≥ 0 (no negatividad) y ≥ 0 (no negatividad)

Solución gráfica. Min z = 50 x + 100y s.a. 6x + 3y ≥ 30 6x + 3y = 30 2 4 6 8 10 12 14 14 12 10 8 6 4 2 Min z = 50 x + 100y s.a. 6x + 3y ≥ 30 2x + 8y ≥ 24 x, y ≥ 0 6x + 3y = 30 2x + 8y = 24

vértices de la región factible: El vértice A es solución del sistema 6x + 3y = 30 x = 0 Luego A(X=0, Y=10) X Y 2 4 6 8 10 12 14 14 12 10 8 6 4 2 La región factible no está acotada A Región Factible El vértice B es solución de 6x + 3y = 30 2x + 8y = 24 Luego B(X=4, Y=2) El vértice C es solución de 2x + 8y = 24 y = 0 Luego C(X=12, Y=0) B C

Solución Región Factible Se evalúa la función objetivo z en los vértices. X Y 2 4 6 8 10 12 14 14 12 10 8 6 4 2 Vértice z = 50x + 100y A(0, 10) z = 50·0 + 100·10 = = 0+1000 = 1 000 B(4, 2) z = 50·4 + 100·2 = = 200+200 = 400 C(12, 0) z = 50·12 + 100·0 = = 600+0 = 6 00 A(0, 10) Región Factible El costo mínimo se obtiene en B. B(4, 2) Solución: x = 4 anuncios en pr. corazón y = 2 anuncios en futbol Coste z = 400 (MM$) C(12, 0)

Soluciones de un Problema de Programación Lineal En los ejemplos anteriores, cada uno de ellos tienen una única solución óptima. No obstante, esta situación no se da en todos los PPL. Se pueden dar también las siguientes posibilidades: Algunos PPL tienen un número infinito de soluciones óptimas (alternativas o múltiples soluciones óptimas). Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no tienen región factible). Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en la región factible con valores de z arbitrariamente grandes (en un problema de maximización)

Infinito número de soluciones óptimas 10 20 30 40 50 60 Y X Considere el siguiente problema: max z = 3x + 2y C s.a: 3x + 2y ≤ 120 x + y ≤ 50 x , y ≥ 0 B Cualquier punto (solución) situado en el segmento AB puede ser una solución óptima de z =120. Es ocurre cuando la función Z tiene igual pendiente que las rectas que limitan la región factible Región Factible z = 120 z = 60 z = 100 A

Sin soluciones factibles 10 20 30 40 50 60 Y X Consideremos el siguiente problema: No existe Región Factible max z = 3x1 + 2x2 x ≥ 30 s.a: 3x + 2y ≤ 120 x + y ≤ 50 x ≥ 30 y ≥ 30 x , y ≥ 0 y ≥ 30 x + y ≤ 50 No existe región factible El conjunto de restricciones no da forma a una región acotada 3x + 2y ≤ 120

Problema no acotado max z = 2x + 2y s.a: x – y ≤ 1 2x + y ≥ 6 x, y ≥ 0 3 4 5 6 Y X Región Factible 2x + y ≥ 6 La región factible es no acotada. Se muestran en el gráfico las rectas de nivel para z = 4 y z = 8. Pero se puede desplazar las rectas de z hacia la derecha indefinidamente sin abandonar la región factible. Por tanto, el valor de z puede crecer indefinidamente. Este problema se produce cuando al maximizar la región factible no esta acotada superiormente o al minimizar la región no está acotada por su extremo inferior. x – y ≤ 1 z = 4 z = 8

Problema acotado Y X Región Factible max z = 2x + 2y s.a: x – y ≤ 1 6 x – y ≤ 1 2x + y ≥ 6 5 4 La región factible no siempre queda acotada por la condición de no negatividad 3 Región Factible 2 1 2x + 4y ≤ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Taller 1 Como parte de una iniciativa de mejoramiento de la calidad, los trabajadores de la constructora T & P afectan un programa de capacitación de tres días de duración en trabajos en equipo y un programa de capacitación de dos días de duración en solución de problemas. El gerente de mejoramiento de la calidad de la empresa ha solicitado que para el próximo año, se ofrezcan al menos 8 programas de capacitación en trabajo de equipo y al menos 10 en capacitación en solución de problemas. Además, la gerencia general ha especificado que deben ofrecerse al menos 25 programas de capacitación en dicho periodo. T & P emplea un asesor externo para impartir los programas de capacitación. Durante el siguiente año, el asesor tiene 84 días disponibles para efectuar la capacitación. Cada programa de capacitación de trabajo en equipo cuesta M$1000 y cada programa de capacitación sobre solución de problemas cuesta M$ 800. Formule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar la cantidad de programas de capacitación sobre trabajo en equipo y la cantidad de programas de capacitación sobre solución de problemas que deben ofrecerse para minimizar el costo total, además se le solicita que encuentre la solución optima.

Solución taller X Número de programas en trabajo en equipo Y Número de programas en solución de problemas obj MIN 1000*X + 800*Y sa ≥ 8 10 X + Y 25 3X + 2Y ≤ 84

Vértice X Y Costo 1 8 17 21600 solución 2 30 32000 3 21,33 10 29330 4 15 23000 SOLUCIÓN X = 8 ; Y = 17; Costo mínimo 21.600