CRECIENDO EN PROPORCIÓN En este taller se habla de lo que entendemos por belleza, y dado que se imparte para Secundaria y a estas edades nacen los complejos, se deberá tratar con cuidado, indicando que aún están creciendo y aún se están desarrollando.

Leonardo de Pisa “Fibonacci” (1170 - 1250) Leonardo de Pisa, también llamado Fibonacci (que significa “hijo de Bonacci”, pues a su padre le llamaban así, que significa “bien intencionado”), es conocido hoy por la sucesión que lleva su nombre, aunque en el mundo antiguo fue conocido por introducir los números que utilizamos hoy en día (lo arábigos en vez de los romanos) en el mundo occidental. Leonardo descubrió estos números ayudando a su padre en el comercio en África, donde usaban el sistema de numeración árabe. Viajó para aprender de los matemáticos árabes y después lo escribió en su libro Liber abaci, libro que propagó por todo Europa. En este libro habla de contabilidad, de pesos y medidas, cambio de moneda, etc. Introduce el número cero. Pero también hay un truco de magia con base matemática. Leonardo de Pisa “Fibonacci” (1170 - 1250)

Esto es una página del libro de Leonardo de Pisa, donde aparece un problema que veremos a continuación. Liber Abaci 1202

DESCENDENCIA DE CONEJOS Hay una pareja de conejos (macho y hembra) y se desea saber el número de conejos que habrá cada mes, sabiendo que los conejos alcanzan la edad fértil al mes. Se indica que este problema, como tanto, es idílico, cada mes cada pareja que ya tiene edad fértil tendrá otra pareja más de conejitos, también macho y hembra, y nunca mueren.

2 1 3 4 5 En el mes 1 tenemos 1 pareja de conejos. Durante el mes 2 esa pareja crece, por lo que seguimos teniendo 1 pareja de conejos ya con edad fértil. En el mes 3 esta pareja de conejos habrá tenido 2 conejitos y tendremos entonces 2 parejas de conejos. En el mes 4, la primera pareja tendrá otra pareja más de conejos, mientras la otra pareja que tuvieron alcanzará la edad fértil, así que en el mes 4 tenemos 3 parejas de conejos. Y así sucesivamente. Al resolver este problema nos sale como solución la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… 6 7 1 1 2 3 5 8 13 …

ÁRBOL GENEALÓGICO DE UNA ABEJA El árbol genealógico de una abeja Este otro problema no viene en el Liber Abaci, pero tiene una curiosa solución. En la especie humana tenemos 2 progenitores por generación, lo que hace que tengamos 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos… En las abejas no es así, ya que los huevos de las abejas obreras no son fertilizados y se convierten en machos (también llamados zánganos). Así que los zánganos no tienen padre, sino sólo madre. Los huevos de la reina sin embargo son fertilizados por los zánganos, de ahí nacen sólo hembras, por lo que las hembras tienen padre y madre.

1 1 2 3 Veamos entonces el árbol genealógico de un zángano, en sentido ascendente. Empezamos con un macho, por lo que solo tiene 1 madre. Esta madre tiene padre y madre, es decir, el zángano inicial tiene un abuelo y una abuela, 2 abuelos en total. ¿Cuántos bisabuelos? Por parte de abuelo, una bisabuela. Por parte de abuela, bisabuelo y bisabuela. Por tanto 3 bisabuelos en total. ¿Y tatarabuelos? Su único bisabuelo sólo tuvo madre (una tatarabuela). Sus dos bisabuelas tuvieron padre (dos tatarabuelos) y madre (dos tatarabuelas). Por tanto, 5 tatarabuelos en total. … Vuelve a salir nuevamente la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… 5 8 .

Un problema con cartas PROBLEMA CON CARTAS Si yo quiero contar los diferentes abanicos que puedo hacer con 2, 3, 4, 5, 6 cartas de modo que no haya dos negras consecutivas en el mismo abanico, ¿cuántos abanicos diferentes puedo hacer? Antes de repartir las barajas enseñamos los tres grupos distintos que pueden hacerse con dos cartas: NR – RN – RR Se deja que los alumnos vayan diciendo las diferentes opciones para los abanicos de distintas cantidades de cartas y se van escribiendo en la pizarra.

Se explica que los matemáticos buscamos métodos Se explica que los matemáticos buscamos métodos. Pueden construirse os abanicos primero poniendo todas rojas, luego poniendo una negra en cada una de las posiciones que hay, luego dos… pero este método a medida que aumenta el número de cartas se hace cada vez más lioso. Explicamos otro método al pasar de 3 a 4 cartas: Si partimos de los casos que hay con 3 cartas, miramos qué cartas podemos añadir al final. Por cada abanico de 3 que acaba en negra se pueden tener 2 abanicos de 4 (los que resultan de añadir una carta roja o una carta negra), pero por cada abanico de 3 que acaba en negra sólo se puede tener un abanico de 4 (pues sólo se puede añadir una carta roja, ya que si añado una negra quedarían dos negras juntas). El razonamiento anterior lleva de nuevo a la construcción de la sucesión de Fibonacci

Sucesión de Fibonacci SUCESIÓN DE FIBONACCI Se genera de la siguiente manera: Los dos primeros términos son a1=1, a2=1 Los siguientes términos son suma de los dos anteriores: an=an-1+an-2, n>2, n.

1 + 1 = 2

1 1 + 2 = 3

1 1 2 + 3 = 5

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 978 1588 2566 4154 6720 10874 …

PROPIEDADES DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

13 – 1 = 12 89 – 1 = 88 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 12 88 Podemos probar si lo han entendido preguntando cuánto sumaran todos los términos desde el primero hasta el 89, por ejemplo (será 232). Si sumamos los “n” primeros términos obtenemos el término an+2 menos una unidad

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 No confundir números primos, con números primos entre sí. Dos números consecutivos de la serie tienen MCD = 1, es decir son primos entre sí

¿DÓNDE ENCONTRAR LA SUCESIÓN DE FIBONACCI? ¿Dónde podemos encontrarla?

En un girasol: el número de espirales en una u otra dirección son números que están en la sucesión de Fibonacci.

Lo mismo pasa con los dientes de león.

O con los cactus.

Y también en las piñas, donde las espirales que puedes encontrar en una u otra dirección son números de Fibonacci consecutivos. Se cuentan en la pantalla las espirales y después con los alumnos y las piñas reales. También pasamos los cactus.

Mostramos el crotón y vemos que el número de hojas que hay entre una y la que está justo encima es un número de la sucesión de Fibonacci. Pero además el número de vueltas que damos alrededor del tallo es también un número de Fibonacci. En este caso no tienen por qué ser números consecutivos de la sucesión.

NÚMERO DE ORO El Número de Oro

Matemático y geómetra griego Matemático y geómetra griego. Se le conoce como el padre de la geometría. Su obra más famosa es “Los elementos”, de 13 tomos. Este libro es el más editado a nivel mundial después de la biblia y además lo que viene en este libro es la geometría que se enseña desde entonces hasta nuestros días (sí, la geometría que aprendemos en el cole es la que viene en ese libro). Euclides (325 a.C. – 265 a.C.)

Luca Pacioli en su libro “De Divina Proportione” recopila todo lo que se conocía hasta el momento sobre el número de oro y la proporción áurea. La sucesión de Fibonacci se hizo famosa cuando el fraile italiano Luca Pacioli la incluyó en su libro “De Divina Proportione” en el que habla de la proporción áurea y para el cual pidió dibujos a Leonardo da Vinci, como el conocido “Hombre de Vitruvio”. Luca Pacioli (1445 - 1517)

“Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor” Euclides A C B Fue Euclides quien en su libro “Los Elementos” describe por primera vez la proporción áurea, proporción que deriva de una simple división. En vez de llamarlo proporción áurea, lo llamó “media y extrema razón”. AB AC Φ = = 1,618033988… = AC CB

4:3 Misma imagen, en diferentes tamaños, pero con igual proporción.

4:3 16:9 Misma imagen en diferentes proporciones. Se puede apreciar las caras más alargadas o los ojos ovalados en vez de redondos. 3:1

A B Pedimos que voten la figura (no hay que decir “rectángulo” ni “cuadrado”) que les parezca más proporcionado, armonioso, bello... Pedimos votaciones y comprobamos que generalmente la respuesta B es la común, ya que cumple la proporción áurea. C D

B Φ Rectángulo de Oro Altura Base Base = 1,618033988… = Altura Se explica por qué cumple la proporción áurea: al dividir el lado grande entre el pequeño nos da el número de oro. Esto es fundamental que quede claro, es la parte en la que más problemas encontramos, la relación entre el número áureo y la proporción áurea. Base Φ = 1,618033988… = Altura

¿Cómo haríamos si quisiéramos construir un rectángulo áureo ¿Cómo haríamos si quisiéramos construir un rectángulo áureo? Efectivamente podríamos multiplicar un lado por el número de oro, pero también se puede construir geométricamente: Hacemos un cuadrado. Calculamos el punto medio de uno de sus lados. Con un compás, pinchando en ese punto medio y con amplitud hasta uno de los vértices del lado opuesto, se traza un arco de circunferencia desde el vértice en el que estamos hasta la prolongación del lado en el que he pinchado.

Si a cada rectángulo que va quedando le quitamos un cuadrado, el nuevo rectángulo es también áureo. Además, no sólo existe el rectángulo de oro (o rectángulo áureo), también existe la espiral áurea, que también se llama espiral de Durero o espiral de Fibonacci,.

El nautilus es un molusco cefalópodo del que se han encontrado restos prehistóricos y se ha comprobado que no ha cambiado la estructura, lo que hace pensar que no ha necesitado evolucionar debido a la perfecta forma de su caparazón. Hay muchos libros que dicen que el nautilus tiene la espiral áurea. Pero claramente puede verse en la imagen de la derecha que no concuerda. Nosotros mismos hemos comprobado esta mentira, midiendo el nautilus con un calibre. También lo comprobamos superponiendo una imagen de espiral en un programa llamado Geogebra sobre la imagen de un nautilus y no hay forma de hacer encajar la espiral completamente. Esto lo contamos porque en internet hay mucha información falsa, por lo que conviene corroborar la información que encontramos.

21 5 8 3 1 1 2 13 Otra forma de construir el rectángulo de oro (puede hacerse en los cuadernos cuadriculados): Partimos de un cuadradito, de lado 1. Ponemos otro cuadradito al lado. Dibujamos ahora un cuadrado de lado 2 debajo de los dos cuadraditos de lado 1. Ahora un cuadrado de lado 3 a la izquierda. Y uno de lado 5 arriba. Ahora el de 8 a la derecha. … Enseguida puede verse que volvemos a la sucesión de Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 5 3 = 1,666 ¿Esto por qué es? Si dividimos dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, nos da, cada vez, un número más próximo al número áureo. Además va oscilando, una vez acercándose por arriba, y la siguiente por abajo. Cuánto más nos alejamos en la sucesión, más nos acercamos al número áureo.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 8 5 = 1,60

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 13 8 = 1,625

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 1,615385

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 1,617647

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 1,618056

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 1,618033988749… Número de Oro

137,51 º β α Además existe esta misma relación áurea entre ángulos: dos ángulos están en proporción áurea cuando al dividir uno entre otro nos da el número de oro. Y el ángulo de oro existe, es 137.5, el resultado de dividir la circunferencia en dos sectores proporcionados. Este número áureo se puede encontrar en las plantas, como veremos más adelante. α α + β Φ = = 1,618033988… = β α

Filotaxis: hay algunas plantas que tienen el crecimiento de sus hojas alrededor de un mismo tallo. En este caso lo importante es que las hojas estén lo más repartidas posibles para que la planta tenga más posibilidades de captar la luz del sol. Por eso este crecimiento de la planta hace que el ángulo entre las hojas sucesivas sea precisamente el ángulo áureo.

¿Dónde podemos encontrarlo?

rojo naranja verde = = = 1,618033988… naranja verde azul Y ya que hay rectángulo de oro, número áureo, espiral áurea, ángulo áureo… También se cumple esta proporción en muchas más cosas. Por ejemplo en el pentagrama. Si dibujas un pentágono regular y las diagonales que unen todos los vértices, al dividir por orden de tamaños los diferentes segmentos que quedan en las diagonales, se obtiene también el número áureo. rojo naranja verde = = = 1,618033988… naranja verde azul

También usamos el rectángulo áureo en el DNI, o las tarjetas de crédito.

También ocurre que en el icosaedro tiene dentro tres planos intersecados que además cumplen la proporción áurea, es decir, cada uno de estos planos es un rectángulo áureo. Pasamos el icosaedro formado con las tres tarjetas.

Partenón (Atenas, Grecia) Además de en la naturaleza, el ser humano ha buscado la belleza a través de la proporción áurea en la arquitectura y el arte. Podemos encontrar esta proporción en edificios como el Partenón de Atenas, La Catedral de Notredame, el Taj Mahal de India… Y también en pinturas como el Nacimiento de Venus, La Gioconda, Las Meninas, o algunos cuadros más modernos como el de Dalí… Partenón (Atenas, Grecia)

Catedral de Notre Dame (París, Francia)

Taj Mahal (Agra, India)

Nacimiento de Venus (Boticelli, 1485)

(Leonardo da Vinci, s. XVI) Gioconda (Leonardo da Vinci, s. XVI)

Las Meninas (Velázquez, 1734)

Semitaza Gigante Volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud (Dalí, 1944 - 1945)

El hombre de Vitruvio (Leonardo da Vinci, 1487) En el ser humano también podemos encontrar estas proporciones, representadas en el Hombre de Vitrubio. Y podemos comprobarlo: Comprobar las medidas de la cara de un monitor con un compás pequeño Según el hombre de Vitrubio, la proporción entre la altura total y la altura a la que está el ombligo guardan proporción áurea. Pero claro, para esto necesitaríamos un compás gigante… Sacar compás gigante, llamarlo “Adivinador de ombligos” y medir a los alumnos que quieran, pero siempre indicando que no es necesario que se levanten la camiseta, que lo notan. El hombre de Vitruvio (Leonardo da Vinci, 1487)

Compás áureo