1) Asociativa sobre (+):  (a + b) + c = a +(b + c)  2) Existe el elemento neutro, 0, de (+) tal que:  a + 0 = a 3) Existe inverso o elemento simétrico de (+) tal que:  a + (-a) = 0 4) Conmutativa sobre (+):  a + b = b + a 5) Asociativa sobre (•):  a • (b • c) = (a • b) • c 6) Existe el elemento unitario o neutro de (•) tal que:  a • 1= a 7) Conmutativa sobre (•):  a • b = b • a  8) Distributiva a la izquierda sobre (+) y (•):  a • (b + c)= (a • b) + (a • c) 9) Simplificación a la izquierda: a • b = a • c si b=c 10) Cierre de + y • (son funciones de ZxZ -> Z) 11) Entre los elementos de Z existe una relación de igualdad que es:      •reflexiva: Para todo a en Z, a = a      •recíproca (o simétrica): Para todo a y b en Z, a = b entonces a + (-b)= 0      •transitiva: Para todo a, b y c en Z y R una relación entre ellos, para a R b y b R c, entonces a R c. Ejemplo entonces a>c

a) Distributividad a la derecha: (a + b) * c = c * (a + b) (Por 7) c * (a + b) = (c * a) + (c * b) (Por 8) (c * a) + (c * b) = (a * c) + (b * c) (por 7) b) Unicidad del cero: Si para todo a es a + Z = a entonces Z=0. En particular si a=0 entonces: 0 + Z = Z (Hipótesis) 0 = Z (Simétrica) entonces 0 + Z = Z + 0 = Z (Por 4 y 2) 0 = 0 (Transitiva) c) Para todo a, b, c en Z, a + b = a + c -> b = c a' + a = 0 a + a' = 0 (Por 3 y 4) A' + (a + b) = a' + (a + c) (por 10 y la hipótesis asociativa) Este teorema se basa en la simplificación de términos en diferentes miembros.

a) Para desarrollar (a + b) a) Para desarrollar (a + b) * (c + d) basta con aplicar iteradas veces las propiedades antes mencionadas: (a + b) * (c + d) = ((a + b) * c) + ((a + b) * d) (Por 8) ((a + b) * c) + ((a + b) * d) = (c * (a + b)) + (d * (a + b)) (Por 7) (c * (a + b)) + (d * (a + b)) = ((c*a) + (c*b)) + ((d*a) + (d*b)) (Por 8) ((c*a) + (c*b)) + ((d*a) + (d*b)) = (a + b) * (c + d) (transitiva) b) Desarrolle guiándose de a) (a - b) * (c - d), note que (a - b) es a + (-b) ____________________________________________________________________________

a) b Z+ ↔ b > 0 ∈ b) a < b ^ b < c a < c, ley transitiva ⇒ c) a < b a + c < b + c ⇒ d) a < b a c < b c, c positivo ⇒ e) a > 0 -a < 0 Definición de primer elemento: Si A es un conjunto totalmente ordenado se dice que n es el primer elemento o elemento mínimo de A si satisface: n es un elemento de A Si m es cualquier elemento de A, entonces n es menor o igual que m (n=<m). Intuitivamente se entiende que el elemento mínimo es el más pequeño de un conjunto.

a) No hay ningún entero entre 0 y 1. Demostración: Sea 0 < c < 1 Sea el conjunto C = (todos los c tales que 0 < c < 1) Sea m el menor de los c (def. de buen ordenamiento) Se tiene que 0 < m < 1 y por tanto: m . 0 < m . m < m . 1 de aquí, m^2 es un entero mayor que cero pero menor que m. Luego m^2 es menor que 1. Por lo tanto m no es el menor de los c. (Este teorema permite ver el siguiente que es la base del principio de inducción) b) Dar un argumento intuitivo de por que el siguiente enunciado no es una demostración: Si un conjunto C de enteros positivos contiene al 1 y siempre que contenga al n contiene también al n + 1, entonces contiene a los enteros positivos. ____________________________________________________________________________________

c) Guiándose de a) demostrar: Supongamos un C tal que 1 ∈ C y Si n ∈ C entonces n+1 ∈ C. Sea C' el conjunto de los enteros que no pertenecen a C. Supongamos tal C' no vacío. Por el principio de buen ordenamiento, tiene un primer elemento. Sea ese elemento m. ¿Puede ser m = 1? _______ . Es decir, entonces es m es | m > 1 | m = 1 | m < 1 | (tache los que no correspondan, cuando entienda las razones). Además m - 1 ∈ C ¿por qué? ________________________________________________ Pero entonces m - 1 + 1 ∈ _______ por __________ Entonces __________ ∈ C contra la hipótesis. Luego C' debe ser _______________

Sea Pn: n+(n+1)+(n+2)= 6x (x ∈ N) b) Determine si la suma de tres números enteros consecutivos es siempre divisible por 6. Solución: Sea Pn: n+(n+1)+(n+2)= 6x (x ∈ N) Paso 1: Probar la proposición para n=1 P(1): 1+2+3 = 6(1) (verdadera para x=1) Paso 2: Probar la proposición para n=k (hipótesis de inducción) P(k)= k+(k+1)+(k+2)= 6X1 (X1 ∈ N) Paso 3: Probar para k = k+1 P(k+1)= (k+1)+(k+2)+(k+3) = 6X2 (X2 ∈ N) Ahora (k+1)+(k+2)+(k+3) = k+(k+1)+(k+2)+3 k+(k+1)+(k+2)+3 = 6X1 + 3 6X1 + 3= 6(X1 + (1/2)) Como 6(X1 + (1/2)) No pertenece a los naturales. Entonces que P(k) sea verdadero no implica que P(k+1) sea verdadero. Por lo tanto Pn es falso.

Paso 1: Probar la proposición para n=1 P(1): a(b(1)) = ab(1) ab = ab a) Demostrar que la distributividad a la izquierda (axioma 1-8) vale para cualquier n. Es decir: Pn: a (b1 + b2 + b3 + ... + bn) = a b1 + a b2 + ... + a bn Solución: Paso 1: Probar la proposición para n=1 P(1): a(b(1)) = ab(1) ab = ab Paso 2: Probar la proposición para n=k (hipótesis de inducción) P(k)= a (b1 + b2 + b3 +...+ bk) = ab1 + ab2 + ... + abk Paso 3: Probar para k = k+1 P(k+1)= a(b1 + b2 + b3 +...+ bk + bk+1) = ab1 + ab2 +...+ abk + abk+1 Ahora como ab1 + ab2 + ... + abk + (abk+1) = ab1 + ab2 +...+ abk + abk+1 Entonces la distributividad a la izquierda vale para cualquier n.

c) Contraejemplo: “Todo número es igual al siguiente”. Supongamos que k = k + 1 (vale para k). Sumando 1 a ambos lados de esa expresión tenemos k + 1 = (k + 1) + 1, es decir, resulta válida para k + 1. Luego vale para todo número. ¿Qué piensa de esta demostración? _____________________________________________________________________________