PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

VARIACIONES U. D. 13.4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

VARIACIONES SIN REPETICIÓN De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. TIPO FORMULA EJEMPLOS VARIACIONES SIN REPETICIÓN m! V = --------- m,n (m-n)! Orden de prioridades al hacer lista compra Palabras de n letras con m letras distintas. Las 5 profesiones que más me interesan @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejercicios EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de tres letras distintas se pueden formar? Si tomo tres letras al azar, ¿qué probabilidad hay de formar la palabra MAR? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y deben ser letras distintas… Luego son variaciones ordinarias V4,3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4.3.2.1/1 = 24 Los casos totales o posibles son 24. El resultados favorable es único, 1. Probabilidad por Laplace: P= Cf / Cp = 1 / 24 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicios EJEMPLO 2 De las cinco carreras universitarias que me interesan, ¿de cuantas formas diferentes puedo ordenar tres de ellas para echar la solicitud de matrícula? Si lo realizo al azar, ¿qué probabilidad hay de que la carrera de Informática sea una de las tres elegidas? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen las cinco carreras y sería absurdo repetir alguna de ellas… Luego son variaciones ordinarias V5,3 = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5.4.3.2.1 / 2.1 = 120 / 2 = 60 Realizándolo al azar, los casos favorables serán: Hay tres maneras de ordenar la Informática, V3,1= 3 3·V4,2 = 3· 4!/(4-2)! = 3· 4!/2! = 3 ·4.3.2.1 / 2.1 = 3 ·24 / 2 = 3·12 = 36 Probabilidad por Laplace: P = Cf / Cp = 36 / 60 = 6 / 10 = 0,60 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? EJEMPLO 3 Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números de dos cifras diferentes puedo formar?. ¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? ¿Cuánto vale la suma de todos los números así formados? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todos los dígitos y deben ser diferentes… Luego son variaciones ordinarias V4,3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4.3.2.1/1 = 24 Los dígitos se reparten por igual en los 24 números así formados. Por tanto 24 / 4 = 6 El 8 aparece en 6 de los 24 números, el 2 también en 6 de los 24 números. La suma de todos los 24 números será: S = 100. columna centenas + 10. columna decenas + columna unidades S = 100.(2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) + 10.((2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) + (2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) S = 100. 6 . 20 + 10 .6 .20 + 6 . 20 = 12.000 + 1.200 + 120 = 13.320 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Importa el orden, no se cogen todas y deben ser cifras distintas… EJEMPLO 4 Con cierto número de cifras me dicen que puedo formar 60 números de 3 cifras diferentes cada uno. ¿Cuántas cifras me dan, suponiendo que ninguna de ellas es el 0?. Resolución: Importa el orden, no se cogen todas y deben ser cifras distintas… Luego son variaciones ordinarias Vx,3 = x! / (x – 3)! ; 60 = x.(x – 1).(x – 2).(x – 3)! / (x – 3)! 60 = x.(x – 1).(x – 2)  60 = 5.4.3 , luego x = 5 cifras. EJEMPLO 5 Para hacer un sorteo se realizan 210 papeletas, cada una compuesta por el mismo número de personas, aunque con nombres diferentes elegidos entre las 7 personas que forman parte del sorteo. ¿Cuántas personas entran a formar parte de cada papeleta? Importa el orden, no se cogen las 7, y no se repiten nombres… V7,x = 7! / (7 – x)! ; 210 = 5040 / (7 – x)! ; (7 – x)! = 5040 / 210 = 24 = 4! 7 – x = 4  x = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

VARIACIONES CON REPETICIÓN De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos, pudiendo alguno repetirse una o varias veces y considerando dos grupos distintos si se diferencian en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. VARIACIONES CON REPETICIÓN n VR = m m,n Quinielas de fútbol o quinielas hípicas Lotería Nacional Repartir cartas en los buzones azar @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejercicios EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra MURCIELAGO, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Si formo una palabra al azar, ¿qué probabilidad hay de haber tomado las cinco vocales?. Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y no nos indican que deben ser letras distintas… Luego son variaciones con repetición VR10, 7 = 107 = 10.000.000 Realizo el experimento al azar, para lo cual supongo haber tomado las cinco vocales en las siete letras: V7, 5 = 7! / (7-5)! = 2520 Las dos letras restantes son tomadas de las 10, puesto que pueden repetirse: VR10, 2 = 102 = 100 formas diferentes de tomar las 2 restantes. Los casos favorables son: V7, 5 ·VR10, 2 = 252000 La probabilidad es: P = Cf/Cp = 252000 / 10000000 = 0,025 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicios EJEMPLO 2 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Si lo hago al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la palabra formada comience con MAR? Resolución: Importa el orden de colocación, a la fuerza se deben repetir letras, y no tenemos por qué coger las cuatro letras que nos dan… Luego son variaciones con repetición VR4,7 = 47 = 16384 Formo al azar la palabra de siete letras. Las tres primeras son fijas, por lo que me quedan tomar 4 letras de las 4 , pues se pueden repetir: VR4,4 = 44 = 256 son los casos favorables. La probabilidad por Laplace es P = Cf/Cp = 256 / 16384 = 0,015625 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicios EJEMPLO 3 Con las tres letras y cuatro cifras de una matrícula, ¿cuántas matrículas diferentes resultan? ¿Qué probabilidad hay de que al matricular un vehículo nos corresponda una matrícula capicúa en números, letras o en números y letras?. Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras ( 26 ) ni todos los dígitos (10 ) y se pueden repetir letras y cifras… Luego son variaciones con repetición VR10, 4 = 104 = 10.000 para las cifras VR26,3 = 263 = 17.576 para las letras Por cada variación de letras habrá 10.000 variaciones de números En total se pueden hacer: 10.000. 263 = 175.760.000 matrículas diferentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

En total se pueden hacer 175.760.000 matrículas diferentes. … EJEMPLO 3 … Resolución: En total se pueden hacer 175.760.000 matrículas diferentes. Matrículas capicúas en números De los cuatro números, dos son fijos, no cuentan en combinatoria: VR10, 2 = 102 = 100 capicúas de los 10000 números. N = 17576 · 100 = 1 757 600 matrículas capicúas diferentes. P = Cf / Cp = 1.757.600 / 175.760.000 = 0,01 = 1% Matrículas capicúas en letras De las tres letras, una es fija, no cuentan en combinatoria: VR26, 2 = 262 = 676 capicúas de los 17.576 palabras de 3 letras. N = 10000 · 676 = 6 760 000 matrículas capicúas diferentes. P = Cf / Cp = 6.760.000 / 175.760.000 = 0,03846 = 3,85% Matrículas capicúas en números y letras N = 100 · 676 = 67.600 matrículas capicúas diferentes. P = Cf / Cp = 67.600 / 175.760.000 = 0,0003846 = 0,038% @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? EJEMPLO 4 Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números de dos cifras puedo formar?. ¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? ¿Cuánto vale la suma de todos los números así formados? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todos los dígitos y pueden repetirse … Luego son variaciones con repetición VR4,3 = 43 = 4.4.4 = 64 Los dígitos se reparten por igual en los 64 números así formados. Por tanto 64 / 4 = 16 El 8 aparece en 16 de los 64 números, el 2 también en 16 de los 64 números. La suma de todos los 64 números será: S = 100. columna centenas + 10. columna decenas + columna unidades S = 100.(2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) + 10.(2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) + + (2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) S = 100. 16 . 20 + 10 .16 .20 + 16 . 20 = 32.000 + 3.200 + 320 = 35.520 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.