UNIDAD 1 LÓGICA MATEMÁTICAS

Estudia la forma del razonamiento. LÓGICA Estudia la forma del razonamiento. Disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es o no válido.

Se la aplicada en: La filosofía Matemáticas Computación Física, etc. ¿DÓNDE SE LA APLICA? Se la aplicada en: La filosofía Matemáticas Computación Física, etc. En general la lógica se aplica en las tareas diarias, debido a que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico.

1.- PROPOSICIÓN Definición.- Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática; generalmente se las expresa en oraciones declarativas o aseverativas, tales como:

Oraciones afirmativas. (Informan). Ej.: Mañana es lunes. Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace frío entonces es invierno

Oraciones que son proposiciones 5 es un número primo. - 17 + 38 = 21. Todos los números enteros son positivos. Vicente Rocafuerte fue presidente del Ecuador. Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas.

Representación simbólica de Proposiciones Las proposiciones se representan simbólicamente por medio de las primeras letras del alfabeto en minúscula seguido de dos puntos. Ejemplo: 5 es un número primo a: 5 es un número primo.

Oraciones que no son Proposiciones Las oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: ¡socorro!, ¡auxilio! ¡te quiero! Las oraciones imperativas. (Órdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera. Las desiderativas. (Deseos, súplicas). Ej.: Ojala no haya clases. Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: ¿Qué hora es?

EJERCICIOS : INDIQUE PORQUE NO SON PROPOSICIONES Lava el auto, por favor. Hola, ¿Cómo estás? ¡Apúrate! ¡Mañana se acabará el mundo! Come rápido. X+5 = 9

VALOR DE VERDAD Definición.- El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso. El valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True. El valor falso se lo asocia con: 0, F, False. La convención que usaremos es 0 y 1

Ejemplo: a: -17+38=21 b: Todos los números enteros son positivos. Podemos observar que el valor de verdad de la primera proposición es VERDADERO, mientras que el valor de la segunda proposición es falso.

TABLA DE VERDAD Definición.- Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

Ejemplo: Construcción de tablas de verdad. La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica.

a b c d e f PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD V V V V V V V F V V F F F Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta. V V V V V V V F V V F F F V V F V 21 F F V F F F V V 22 En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n posibilidades F V F F F V F F F 23

2.- OPERADORES LÓGICOS Elementos que sirven de enlace o nexos entre las proposiciones. Ejemplos:

OPERADORES LÓGICOS

NEGACIÓN Este operador cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera, a es falsa; si a es una proposición falsa, a es verdadera. La negación se presenta con los términos gramaticales: no ni no es verdad que no es cierto que

Tabla de verdad de la negación Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad.

Ejemplo Negación de Proposiciones

CONJUNCIÓN (^) La conjunción se presenta con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “más”, “también”, “sin embargo”, “además”, Signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Tabla de verdad de la Conjunción REGLA.- La conjunción será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero.

Ejemplo: Conjunción de Proposiciones

DISYUNCIÓN (V) La Disyunción se presenta con el término gramatical «o».

Tabla de verdad de la Disyunción REGLA.- La Disyunción será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

Ejemplo: Disyunción de Proposiciones Si se tienen las proposiciones: a: Tengo un libro de Trigonometría. b: Tengo un libro de Álgebra. La disyunción entre a y b es: avb: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra.

Como se podrá notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos libros, razón por la cual esta disyunción recibe el nombre de disyunción inclusiva. Suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre sí. La expresión «o estoy en Quito o estoy en Guayaquil» denota la imposibilidad de estar físicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo.

CONDICIONAL Viene a ser la combinación de dos proposiciones con “si… entonces”. Se lee si p entonces q.

Tabla de verdad de la Condicional REGLA.- Una proposición condicional es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas

Terminología gramatical de la CONDICIONAL

Ejemplo: Condicional de Proposiciones

BICONDICIONAL Es la unión de dos proposiciones por “si y sólo si”. Se lee a si y sólo si b. Términos gramaticales: «a si y sólo b», «a si y solamente b», «a implica b y b implica a»,

Tabla de verdad de la Bicondicional REGLA.- Una proposición bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos.

Ejemplo: Bicondicional de Proposiciones

3.- CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones se clasifican en: Simples o atómicas Compuestas o moleculares.

PROPOSICIÓN SIMPLE Son aquellas que no poseen operador lógico. Es decir que no se pueden dividir en otras proposiciones. Ejemplo: a: Todo organismo viviente se adapta a su medio físico. b: Si un número es divisible por 4 también lo es por 2 c: 5 – 3 = 4

PROPOSICIÓN COMPUESTA Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por operadores lógicos Ejemplos: p: La niña María canta y su hermano Luis toca el piano. q: Ecuador es un país Amazónico y latinoamericano.