Apuntes de Matemáticas 2º ESO U.D. 5 * 2º ESO EXPRESIÓN ALGEBRAICA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Operaciones con polinomios U.D. 5.4 * 2º ESO Operaciones con polinomios @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO SUMA DE POLINOMIOS La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama: REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x + 7.x3 + 5.x2 - 3 = = 11.x3 + 12.x2 - 5.x - 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO SUMA DE POLINOMIOS EJEMPLO 2 Sea P(x) = 7.x2 - 5.x y Q(x) = 5.x2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 7.x2 - 5.x ) + (5.x2 – 3 ) = 7.x2 - 5.x + 5.x2 – 3 = = 12.x3 - 5.x – 3 EJEMPLO 3 Sea P(x) = 7.x3 – x + 5 y Q(x) = 5.x2 + 3.x – 3 P(x) + Q(x) = (7.x3 – x + 5) + (5.x2 + 3.x – 3) = 7.x3 – x + 5 + 5.x2 + 3.x – 3 = = 7.x3 + 5.x2 + 2.x + 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Otra forma de sumar polinomios Otra forma de sumar dos o más polinomios es mediante columnas de términos semejantes. Ejemplo: P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x Q(x) = 3.x3 + 5.x - 3 P(x) + Q(x) = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3 Otro ejemplo: P(x) = 5.x3 – 2.x + 3 Q(x) = 3.x2 + 2.x – 8 P(x) + Q(x) = 5.x3 + 3.x2 – 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

DIFERENCIA DE POLINOMIOS Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. Y finalmente se reducen términos semejantes, ordenando el resultado de forma decreciente. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x - 7.x3 - 5.x2 + 3 = = - 3.x3 + 2.x2 - 5.x + 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

DIFERENCIA DE POLINOMIOS EJEMPLO 2 Sea P(x) = 7.x2 - 5.x y Q(x) = 5.x2 - 3 P(x) – Q(x) = ( 7.x2 – 5.x ) – (5.x2 – 3 ) = 7.x2 – 5.x – 5.x2 + 3 = = 2.x3 – 5.x + 3 EJEMPLO 3 Sea P(x) = 7.x3 – x + 5 y Q(x) = 5.x2 + 3.x – 3 P(x) – Q(x) = (7.x3 – x + 5) – (5.x2 + 3.x – 3) = 7.x3 – x + 5 – 5.x2 – 3.x + 3 = = 7.x3 + 5.x2 – 4.x + 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Otra forma de restar polinomios Otra forma de sumar dos o más polinomios es mediante columnas de términos semejantes. Ejemplo: P(x) = 5.x4 + 4.x3 – 2.x Q(x) = 3.x3 + 5.x – 3 P(x) + Q(x) = 5.x4 + x3 – 7.x + 3 Otro ejemplo: P(x) = 5.x3 – 2.x + 3 Q(x) = 3.x2 + 2.x – 8 P(x) + Q(x) = 5.x3 – 3.x2 – 4.x + 11 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Producto de un número por P(x) Para multiplicar un polinomio por un número se multiplica dicho número por todos los coeficientes numéricos de los monomios que lo forman. El resultado es otro polinomio del mismo grado. EJEMPLOS 3.P(x) = 3.(4.x + 3) = 12.x + 9 5.Q(x) = 5.(5.x2 + 4.x – 2) = 25.x2 + 20.x – 10 7.R(x) = 7.(x3 – 2.x + 6) = 7.x3 – 14.x + 42 (– 2).W(x) = (– 2).(3.x2 – 8.x – 5) = – 6.x2 + 16.x + 10 (– a).T(x) = (– a).(4.x2 – 3.x – 1) = – 4.a.x2 + 3.a.x + a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro polinomio El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x2 + 4.x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x2 + 4.x )  2.2 = 4 términos (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x2 + 4.x + 7).(x2 + 4.x - 3)  3.3 = 9 términos (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x2 + 4.x - 5).(x3 + x2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo Multiplicar: (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3) (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3) = = (5.x2).(x2 + 4.x - 3) + (4.x ).(x2 + 4.x - 3) = = 5.x4 + 20.x3 – 15.x2 + 4.x3 + 16.x2 – 12.x = = 5.x4 + 24.x3 + x2 – 12.x Los 6 sumandos se han reducido a cuatro. Multiplicar: (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x – 3) (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x – 3) = = (x2).(x3 + x2 + x – 3) + (4.x).(x3 + x2 + x – 3) = = x5 + x4 + x3 – 3.x2 + 4.x4 + 4.x3 + 4.x2 – 12.x = = x5 + 5.x4 + 5.x3 + x2 – 12.x Los 8 sumandos se han reducido a cinco. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

División de P(x) entre un número Para dividir un polinomio entre un número se dividen todos los coeficientes numéricos de los monomios que lo forman entre dicho número. El resultado es otro polinomio del mismo grado. EJEMPLOS P(x) / 3 = (4.x + 3) / 3 = (4/3).x + 1 Q(x) / 5 = (25.x2 + 4.x – 2) / 5 = 5.x2 + 0,80.x – 0,10 R(x) / 7 = (x3 – 2.x + 6) / 7 = (1/7).x3 – (2/7).x + (6/7) W(x) / (– 2) = (3.x2 – 8.x – 10) / (– 2) = – 1,50.x2 + 4.x + 5 T(x) / (– 3) = (12.x2 – 7.x – 3) / (– 3) = – 4.x2 + (7/3).x + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

División de polinomios Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada término del polinomio por el monomio. Dicha división no siempre da por resultado otro polinomio. Ejemplo 1 Dividir ( 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 ) entre 2.x2 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 6.x4 4.x3 5.x2 ------------------------ = ---- + ------ - ------ = 3.x2 + 2.x - 5 / 2 2.x2 2x2 2.x2 2.x2 El resultado es un polinomio de grado 2 ( 4 – 2). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo 2 Dividir ( x3 + 4.x2 - 5 ) entre x x3 + 4.x2 - 5 x3 4.x2 5 ------------------ = ---- + ------ + ---- = x2 + 4.x – 5/x x x x x El resultado no es ni un monomio ni un polinomio. Ejemplo 3 Dividir ( x5 + 6.x4 - a.x3 + b.x2 ) entre 3.x2 x5 + 4.x4 - a.x3 + b.x2 x5 4.x4 a.x3 b.x2 ----------------------------- = ----- + ------ - ------ + ------ = 3.x2 3.x2 3.x2 3.x2 3.x2 = (1/3) x3 + 2 x2 – (a/3) x + b/3 El resultado es un polinomio de grado 3. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO