Optimización: Programación Lineal Método Simplex: Enfoque matricial

Antes de Comenzar Llevar a forma estándar. Agregando variables auxiliares positivas a las desigualdades + trucos. El problema crece en variables La matriz A crece en columnas

Fases del algoritmo Simplex 1: Elegir un punto extremo factible “La solución “vive” en estos puntos” Problema no trivial en algunos casos. 2: Iterativo Sólo hay un número finito de punto extremos. Moverse hacia un mejor punto adyacente. 3: Regla de detención Si un punto es mejor que sus vecinos, entonces es el óptimo. Si el punto actual es el mejor de todos los adyacentes, parar.

Pasos del algoritmo Simplex 1: Encontrar una solución factible. 2: Encontrar los Costos reducidos para las variables no básicas. 3: Calcular la dirección de avance. 4: Calcular el paso. 5: Calcular el nuevo punto extremo. 6: Volver a 2 usando la nueva base.

Ideas del algoritmo Hay n variables y m ecuaciones con n>m Elegir un set de m variables dejando las restantes nulas. Parte de la matriz A participa (B), parte del vector x participa. Resolver el sistema de ecuaciones. Verificar la factibilidad de esa solución (positividad).

Ideas del algoritmo Se divide la matrix A en 2 partes. Indicador para las variables que forman la base Variables básicas y no básicas

Ideas del algoritmo Con lo cual se obtiene la siguiente formulación de las restricciones. Se toma las variables no básicas como nulas y se resuelve el sistemas de ecuaciones resultante.

Ideas del algoritmo Si la solución encontrada es “positiva”, es factible. Debido a que el problema está en forma estándar Se muestra la elección de X1 y S6 como variables no básicas (nulas) para un problema particular. La variable auxiliar s7 será negativa. No es Factible Se debe tomar otra base. Si la solución es factible, será un punto extremo del poliedro.

Ideas del algoritmo Puntos extremos adyacentes comparten m-1 elementos. Puntos extremos adyacentes difieren en 1 variable. Una solución adyacente se puede escribir como: La solución actual más una cantidad en alguna dirección. Cantidad? Dirección?

Ideas del algoritmo: dirección de avance Tenemos que: Entonces: Si conocemos la variable que queremos hacer entrar a la base entonces podemos plantear: DK se mantienen NB y por lo tanto nulos.

Ideas del algoritmo: dirección de avance Dado que el vector d es una dirección, tomaremos. La dirección de búsqueda queda determinada por la variable a ingresar.

Ideas del algoritmo: cantidad a avanzar Observando: Nos damos cuenta que para las variable NB siempre se cumple. Entonces si dj es positivo, no hay problema t=inf Si dj es negativo se puede avanzar hasta que x’j sea nulo. El primero que se anule es que indica cuanto se puede avanzar. La restricción se debe cumplir para todos El “t” que cumple con todos es el mínimo.

Recapitulando Problema en forma Estándar (variables auxiliares). Elección de un punto inicial factible (base). Elección arbitraria de B y solución del sistema de EQ. Verificar la factibilidad. Elección de una variable a entrar a la base (pendiente) Dirección (dJ) Cantidad a avanzar (t) Construcción del nuevo punto.

Cómo elegir cual variable entra a la base? La que tenga mayor posibilidad de cambiar la función objetivo. Cómo se mide esto ? Comparando la función objetivo en 2 puntos. Esto se puede conocer para todas las variables NB (que podrían entrar) Cambio unitario en la dirección de la variable j entrante.

Pasos del algoritmo Simplex 1: Encontrar una solución factible. 2: Encontrar los Costos reducidos para las variables no básicas. 3: Calcular la dirección de avance. 4: Calcular el paso. 5: Calcular el nuevo punto extremo. 6: Volver a 2 usando la nueva base.

Un ejemplo

Ejemplo, transformar a estándar.

En términos matriciales

Punto inicial

Primera Iteración

Segundo punto

Segunda iteración

Tercer punto

Tercera iteración

Cuarto punto

Cuarta iteración

Quinto punto

Ejemplo: De manera visual

Dualidad Relaciones Primal- Dual. Teorema de Holgura complementaria. Plantea relaciones que se cumplen en el óptimo.