GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA: “NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”

Definición de Geometría La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, ángulos y sólidos, asi como de las relaciones que guardan entre sí.

Términos no Definidos Los conceptos geométricos básicos son abstractos y existen solo en nuestra mente. Un Termino no definido se usa cuando la palabra es tan elemental y se supone que todos conocen su significado. Además no es posible definirlos en base a otros elementos ya conocidos En Geometría se usa los términos: Punto Recta Plano

El punto Los puntos no tienen medida. Son represetados por letras mayúsculas y no tienen dimension (largo, alto, ancho). A B C

La recta Una recta se extiende al infinito en ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con minúscula. b C A

El plano Un plano se extiende al infinito en toda dirección y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados y se nombran con letras mayúsculas o tres puntos colineales.

Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento. Dos dimensiones: ángulos, polígonos, circunferencia y círculo. Tres dimensiones: cuerpos geométricos (poliedros y figuras de revolución).

EL PUNTO

Puntos Colineales.- Son aquellos que pertenecen a la misma recta L. Puntos Coplanares.- Son los que pertenecen a un mismo plano Π.

LÍNEA RECTA

Tenemos infinitos puntos alineados, y si los colocamos muy cerca unos de otros, obtendremos una línea recta ......................................................................................................... Luego podemos definir línea recta como la sucesión de infinitos puntos alineados. Al estar formada por infinitos puntos, una línea recta no tiene ni principio ni fin.

Propiedades de las rectas

Por un punto pasan infinitas rectas

Por dos puntos pasa una sola recta

Tipos de rectas

Son las que se cortan en un punto RECTAS SECANTES Son las que se cortan en un punto El punto en el que se cortan se llama PUNTO DE INTERSECCIÓN

Son las que no tienen ningún punto en común RECTAS PARALELAS Son las que no tienen ningún punto en común

SEMIRECTA O RAYO

Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P. Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA P SEMIRRECTA SEMIRRECTA El punto P es el origen de cada una de las semirrectas. Definimos semirrecta como: La porción de recta limitada por un punto

SEGMENTO

Dibujamos una recta, y señalamos en ella dos puntos A y B. Estos dos puntos determinan una porción de recta llamada SEGMENTO SEGMENTO A B Los puntos A y B son los EXTREMOS del segmento. Definimos segmento como: La porción de recta limitada por dos puntos

ÁNGULOS

Ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen Lado ÁNGULO Lado Vértice

A B O AOB

Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas: Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó CBA. Por una letra o número colocado en la abertura a. Por la letra del vértice B.

Tipos de ángulos

ÁNGULO RECTO a b Rectas perpendiculares Ángulo recto es el que tiene sus lados perpendiculares. El ángulo recto tiene un valor de 90º. Rectas perpendiculares

El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos. Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.

ÁNGULO AGUDO Ángulo agudo es aquel que es menor que un recto, es decir mide menos de 90º

ÁNGULO OBTUSO Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un recto, es decir mide más de 90º

ÁNGULO COMPLETO Ángulo completo es aquel que sus lados son la misma semirrecta. Su valor es de 360º

ÁNGULOS CONSECUTIVOS Son los que tienen el vértice y un lado comunes. 1 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos

ÁNGULOS ADYACENTES Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta 1 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 60º 60º 30º 90º Ángulos complementarios son los que juntos suman 90º, es decir, un ángulo recto.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 120º 120º 180º 60º Ángulos suplementarios son los que juntos suman 180º, es decir, dos ángulos rectos.

Bisectriz La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.

Ejemplo: La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que: 1= 2

Lado Vértice Ángulos A Ángulo O B Un ángulo es una porción del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un mismo punto, que llamamos vértice. Sería la separación (tomada de forma circular) entre dos líneas que se cortan en un punto. Vértice Los ángulos se nombran de varias formas. La más utilizada es la que emplea tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es el vértice. A Ángulo O B Según su apertura en grados, los ángulos se clasifican en: Ángulo Obtuso Más de 90º Ángulo Llano 180º Ángulo Recto 90º Ángulo Agudo Menos de 90º

Polígonos Cuadrilátero Pentágono Hexágono Triángulo Octógono Eneágono Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la longitud de la la línea poligonal se le llama perímetro del polígono. Los polígonos pueden ser regulares (con todos sus lados y ángulos iguales) o irregulares (lo contrario). Pero también se pueden clasificar por su número de lados. Así, según sus lados, los polígonos pueden ser: Cuadrilátero Pentágono Hexágono Triángulo Octógono Eneágono Decágono Heptágono

los tres lados diferentes. Triángulos Los triángulos son polígonos con tres lados y tres ángulos. Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º entre los tres. Según sus lados, los triángulos pueden ser: Equilátero: los tres lados iguales. Isósceles: sólo dos lados iguales. Escaleno: los tres lados diferentes. Según sus ángulos, los triángulos pueden ser: Rectángulo: un ángulo recto. Acutángulo: los tres ángulo agudos. Obtusángulo: un ángulo obtuso.

Cuadriláteros Hay tres clases de cuadriláteros: Paralelogramos: lados paralelos dos a dos Trapecio: sólo dos lados paralelos Trapezoide: ningún lado paralelo a otro Cuadrado: ángulos y lados iguales Rectángulo: ángulos iguales y lados iguales dos a dos Rombo: lados iguales y ángulos iguales dos a dos Romboide: ángulos y lados iguales dos a dos

P = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6 P = 6 x l Perímetro l1 l2 l3 l6 l4 l5 El perímetro de un polígono es la medida de sus lados, de su contorno. Para cualquier polígono, su perímetro se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados. l1 l2 P = l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6 l3 l6 l4 l5 Los polígonos regulares, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro. l P = 6 x l

Área El área de un polígono es la porción de plano comprendida entre sus lados. Es decir, la medida de la superficie encerrada por una línea poligonal. Área  Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuántas veces entra en ella una  unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y  corresponde a un cuadrado de un metro de lado.  Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus  múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.

Cálculo de las Áreas de figuras planas Área del trapecio Área del cuadrado Área del triángulo b h l a b B Área del rombo Área del rectángulo Área del romboide D d a a b b Área de un polígono regular P= Perímetro Ap = Apotema (línea que une el centro con la mitad de un lado) Ap

La circunferencia y el círculo Cuerda Circunferencia Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo. Diámetro Centro El diámetro de una circunferencia es igual al doble del radio. d = 2 · r Radio Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 veces su diámetro. A este número decimal se lo define con la letra griega “pi” (∏). Luego ∏ = 3,14 aproximadamente. De esta forma, la longitud de una circunferencia es: L = 2 · ∏ · r Círculo Sector circular La superficie del círculo se calcula multiplicando “pi” por el cuadrado del radio. A = ∏ · r2 Segmento circular

Cuerpos geométricos Poliedros regulares Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras: - Cuerpos poliedros. Son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares (todas sus caras iguales) y poliedros irregulares (no todas las caras iguales). - Cuerpos de revolución. Son cuerpos que tienen, al menos, una cara curva, y se obtienen haciendo girar en torno a un eje a un polígono cualquiera. Poliedros regulares Los poliedros regulares han tenido siempre aplicaciones astronómicas. Platón utiliza al Tetraedro como figura básica de su cosmogonía. J. Kepler hace coincidir las órbitas planetarias de forma que los planetas se colocan el esferas circunscritas a cada uno de estos sólidos. Tetraedro Octaedro Hexaedro o Cubo Dodecaedro Icosaedro

Cuerpos geométricos Poliedros irregulares Los poliedros irregulares tienen una base poligonal, que puede ser un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etc. Y se nombran teniendo en cuenta dicha base. Así, se denominan: pirámide triangular (si la base es un triángulo); prisma cuadrangular (si la base es un cuadrado) y así con los demás polígonos. Las pirámides tienen una sola base, y los prismas dos, una superior y otra inferior (siendo iguales las dos). Arista Altura Cara Base Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Prisma triangular Prisma cuadrangular

Cuerpos geométricos Cuerpos o figuras de Revolución Estos cuerpos reciben este nombre porque su forma se genera por medio de la revolución (giro sobre un eje) de una figura plana. Si giramos un rectángulo sobre su lado mayor, obtenemos un cilindro; si giramos un triángulo rectángulo sobre un cateto, obtenemos un cono; y si giramos una semicircunferencia, obtenemos una esfera. Debido a esto, en estos cuerpos, hay superficies curvas. Altura Generatriz Radio Base Cilindro Cono Esfera