Distribuciones discretas Distribuciones de variable discreta. Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de {x│x} finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de densidad de probabilidad Función de probabilidad Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi. 0 ≤ pi ≤ 1 p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1

Distribuciones discretas La media de una distribución de probabilidad se denota por la letra griega µ (mu). Parámetros de una distribución de probabilidad Media o esperanza matemática La varianza y desviación típicade una distribución de probabilidad se denotan por la letra griega σ (sigma) : σ2 y σ. Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca. Varianza Estos nombres tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas. A la media también se le suele llamar valor esperado o esperanza matemática y se puede denotar como E(x). Varianza Desviación típica

Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60 con probabilidades de 0.4, 0.2, 0.1 y 0.3 respectivamente. Calcular la esperanza matemática de la v. a. X Calcular la varianza de la v. a. X Calcular la desviación estándar de la v. a. X  

Distribución de Bernoulli Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito  1 fracaso  0 Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad: Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz.

Función de distribución:

Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

Distribución binomial La distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento. P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda. Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda. Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (cara) = p. Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

X = Número de veces que ocurre A. Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria: X = Número de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n. Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n - x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

la distribución binomial: La función de probabilidad P(X = x) será la distribución binomial: Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

Ejercicio: ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean niñas?

Ejercicio: Si una décima parte de las personas tienen cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo?

¿Y si la pregunta es 8 como máximo?

Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

Características de la distribución binomial Media = E(X) = n p = 5 · 0.1 = 0.5 = 5 · 0.5 = 0.25 n = 5 p = 0.1 P(X) .6 .4 .2 X 1 2 3 4 5 Desviación estándar n = 5 p = 0.5 P(X) .6 .4 .2 X 1 2 3 4 5

Distribución geométrica Consideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el primer éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito. Entonces:

p(x) x Función de distribución:

Distribución binomial negativa (de Pascal o de Pólya) Consideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el r-ésimo éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos x hasta que se obtiene el r-ésimo éxito. Entonces: El último tiene que ser un éxito. Se denomina binomial negativa porque los coeficiente provienen de la serie binomial negativa:

Distribución binomial negativa (de Pascal o de Pólya) La distribución binomial negativa también se puede definir como el número de pruebas x hasta la aparición de r éxitos. Como el número de pruebas x, en este caso, contabiliza tanto los éxitos como los fracasos se tendría según ésta definición que:

Disponemos de una moneda trucada con probabilidad de cara igual a p=0.25. La lanzamos hasta que obtenemos 2 caras. La distribución del número de lanzamientos x será: P(x) x

Elegir al azar con reemplazo Elegir al azar con reemplazo significa que escogemos al azar un elemento de un conjunto y lo regresamos para elegir de nuevo al azar. Esto garantiza la independencia de las elecciones y nos lleva a una distribución binomial. Si una caja contiene N bolas de las cuales A son rojas, entonces la probabilidad de escoger al azar una bola roja es: p = A/N. Si repetimos el experimento sacando n bolas con reemplazo la probabilidad de que x sean rojas es: (Una distribución binomial)

Elegir al azar sin reemplazo Elegir al azar sin reemplazo significa que no devolvemos el elemento elegido al azar al conjunto. De modo que las probabilidades de la siguiente elección dependen de las anteriores. Si repetimos el experimento anterior sacando n bolas sin reemplazo, ¿cuál será ahora la probabilidad de que x sean rojas? Para calcular los casos favorables observa que: N = A + (N – A). De las A bolas rojas tomaremos x y de las N – A bolas no rojas tomaremos n – x.

Distribución hipergeométrica

Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la función de probabilidad de la variable aleatoria : X = Número de bolas rojas en cada elección (con y sin reemplazo). Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2 Escogemos con reemplazo: Escogemos sin reemplazo:

La distribución binomial es una aproximación aceptable a la Hipergeométrica Binomial N = 24 n = 5 X = 8 p = 8/24 =1/3 Observa que si N, A, N-A son grandes comparados con n no hay gran diferencia en qué distribución empleemos. La distribución binomial es una aproximación aceptable a la hipergeométrica si n < 5% de N. n = 5 Error x P(x) P(x) 0.1028 0.1317 -0.0289 1 0.3426 0.3292 0.0133 2 0.3689 0.3292 0.0397 3 0.1581 0.1646 -0.0065 4 0.0264 0.0412 -0.0148 5 0.0013 0.0041 -0.0028 N = 240 n = 5 X = 80 p = 80/240 =1/3 n = 5 x P(x) P(x) Error 0.1289 0.1317 -0.0028 1 0.3306 0.3292 0.0014 2 0.3327 0.3292 0.0035 3 0.1642 0.1646 -0.0004 4 0.0398 0.0412 -0.0014 5 0.0038 0.0041 -0.0003 30

Distribución de Poisson Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña, la distribución binomial converge a la distribución de Poisson: donde np =  Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”. La distribución de Poisson, junto con la uniforme y la binomial, son las distribuciones más utilizadas.

Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector. Usemos la distribución binomial para modelar el proceso. Podemos dividir el intervalo de tiempo en el que ocurre el proceso en n subintervalos suficientemente pequeños, como para asegurarnos que a lo sumo se produce un evento en cada subintervalo. De modo que en cada subintervalo, o se producen 0 o 1 ocurrencias. A lo sumo llega un fotón en cada subintervalo o ninguno. De modo que podemos entender el proceso como un experimento de Bernoulli. Para determinar p, podemos razonar de la siguiente manera:

En promedio se producirán λt ocurrencias en un intervalo de tiempo t. Si este intervalo se divide en n subintervalos, entonces esperaríamos en promedio (usando Bernoulli): np ocurrencias. Así: λt = np, p = λt / n. Sin pérdida de generalidad supongamos que t = 1 y que X es la variable aleatoria = número total de ocurrencias. Sabemos que: Observa que para n grande P(X = 0) es aproximadamente e-λ. Además para n grande (y por tanto p muy pequeño):

Tenemos entonces la siguiente ecuación iterada: Que nos proporciona:

Características de la distribución de Poisson Media = 0.5 P(X)   E ( X )   .6 .4 .2 X Desviación estándar 1 2 3 4 5    = 6 P(X) .6 .4 Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x   .2 X 2 4 6 8 10

La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).  =  = n p =  Distribución de Poisson para varios valores de .

Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos? La distribución binomial nos daría el resultado exacto: El suceso complementario Ac: No más de 2 televisores defectuosos puede aproximarse con una distribución de Poisson con  = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado. P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir 9% Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10: μ = 10 P(10) = 1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5% Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad. Una distribución de Poisson con μ = 10.

Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más coches? Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para un intervalo pequeño será también pequeño – podemos aproximar la distribución a una Poisson con  = np = 2. y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143 El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad: