Modulo 3: Distribución de Probabilidades PARTE 1: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISCRETAS.

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1 Modulo 3: Distribución de Probabilidades PARTE 1: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES DISCRETAS

2 Experimentos Aleatorios  La teoría de probabilidad trata fenómenos que pueden ser modelados por experimentos cuyos resultados están gobernados por el azar.  Estos experimentos aleatorios están caracterizados por:  Los experimentos son repetibles bajo idénticas condiciones  El resultado de un experimento es impredecible  Si el experimento se realiza un gran número de veces, el resultado exhibe un cierta regularidad estadística (se observa un comportamiento promedio). 2

3 Variable Aleatoria  Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del EM.  Ejemplo: El EM que da una descripción detallada de cada resultado posible cuando se prueban tres componentes electrónicos se puede escribir como {NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DND,DDN,DDD}  Donde N denota no defectuoso y D defectuoso. Es natural estar interesado en el número de defectuosos que puedan ocurrir. De esta forma a cada punto del EM se le asignará un valor numérico de 0,1,2 o 3.  Estos valores, por supuesto, son cantidades aleatorias determinadas por los resultados del experimento estadístico.  Utilizaremos una letra mayúscula, digamos X, para denotar una variable aleatoria y su respectiva minúscula, x en este caso, para uno de sus valores.

4  En el Ejemplo, notamos que la variable aleatoria X toma el valor 2 para los elementos del subconjunto: E={DDN,DND,NDD} del EM.  Ejemplo 2: Se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una urna que contiene cuatro bolas rojas y tres negras. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas rojas, son: EM y RR 2 RN 1 NR 1 NN 0

5 Tipos de Variables Aleatorias Variable aleatoria Discreta Variable aleatoria Continua  Si un EM contiene un número finito de posibilidades o una serie interminable con tantos elementos como números enteros existen, se llama espacio muestral discreto (EMD).  Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta (v.a.d.) si se puede contar su conjunto de resultados posibles.  En la mayor parte de los problemas prácticos, las v.a.d. representan datos datos contados, 5

6 Tipos de Variables Aleatorias: Discreta (Discontinua) - Ejemplos 6 ExperimentoVariable aleatoria Llamar a cinco clientesCantidad de clientes Inspeccionar un embarque de 40 chips Cantidad de chips defectuosos Funcionamiento de un restaurante durante un día Cantidad de clientes Vender un automóvilSexo - Cliente Variable aleatoria Discreta

7 7 Distribución de Variable Discreta Ejemplos ExperimentoVariable aleatoriaValores posibles V.A Llamar a cinco clientesCantidad de clientes0, 1,2,3,4,5 Inspeccionar un embarque de 40 chips Cantidad de chips defectuosos 0,1,2,….,40 Funcionamiento de un restaurante durante un día Cantidad de clientes0,1,2,3……. Vender un automóvilSexo Cliente0 si es hombre y 1 si es mujer

8 Función de probabilidad función de masa de probabilidad Distribución de probabilid  El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad de la v.a.d. X.  El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de probabilidad, función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad de la v.a.d. X, si para cada resultado posible x,

9 Ejemplo: Un embarque de ocho notebook similares para una tienda contiene tres que están defectuosos. Si una Escuela hace una compra al azar de dos de estos notebook. Calcular la distribución de probabilidad para el número de defectuosos. Sea X una v.a. cuyos valores x son los números posibles de notebook defectuosos que compra la Escuela. Entonces x puede ser 0,1 o 2, tal que: Por lo tanto, la distribución de probabilidad de X es: x 0 1 2 f(x) 10/28 15/28 3/28

10 Distribuciones Acumuladas  Hay muchos problemas donde queremos calcular la probabilidad de que el valor observado de una v.a. X sea menor o igual que algún número real x.  La distribución acumulada F(x) de una v.a.d. X con distribución de probabilidad f(x) es  Para la v.a. M, el número de asociaciones correctas en el Ejemplo, tenemos:

11 Distribuciones de probabilidad discreta 11

12 Distribuciones Discreta  Algunas distribuciones discretas de probabilidad son:  Uniforme discreta  Binomial  Bernoulli  Poisson  Hipergeométrica 12

13 Distribuciones de probabilidad discretas  El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de probabilidad discreta o distribución de probabilidad discreta de la variable discreta X, si para cada resultado x  La distribución acumulada F(x) de una VAD X con distribución f(x) es: 13

14 Distribución Uniforme Discreta

15  La más simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta es una donde la v.a. toma cada uno de sus valores con la misma probabilidad. Tal distribución se denomina distribución uniforme discreta  Tiene un número finito de resultados y los resultados son equiprobables ; en este caso, la probabilidad de cualquiera de los resultados individuales es:  La distribución uniforme discreta utiliza la regla de Laplace  Si la variable aleatoria discreta X toma valores discretos x1, x2, ….., xk con igual probabilidad. 15

16 Ejemplos de distribuciones de probabilidad uniforme discreta Ejemplo de distribución uniforme discreta: Cuando se lanza un dado honesto, cada elemento del Espacio Muestral ocurre con probabilidad 1/6. Por lo tanto tenemos una distribu x = ción uniforme, f(x;6) = 1/6, x = 1,2,3,4,5,6

17 Ejemplos de distribuciones de probabilidad uniforme discreta Ejemplo de distribución uniforme discreta: Saliendo del metro Hemos quedado con un amigo en una zona de la ciudad que no conocemos, sólo sabemos la parada de metro. Cuando llegamos el metro tiene cuatro salidas y no sabemos por cuál hay que salir. Sólo hay una salida que nos lleva a nuestro amigo, ¿cuál es la probabilidad de que escojamos la salida buena? Hay cuatro opciones para escoger (4 resultados posibles), y como no tenemos ninguna información adicional sobre la salida correcta, asignamos a todas la misma probabilidad de ser la correcta (sucesos equiprobables). Hay una salida buena (1 resultado favorable). Entonces la probabilidad de escoger la salida buena es 1/4 = 0,25 = 25%

18 18 Esperanza matemática o media de una distribución Uniforme discreta Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible. Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

19 Varianza de una distribución Uniforme discreta 19

20 Distribución Binomial

21 Proceso de Bernoulli  Muchas veces, un experimento estadístico consiste en pruebas repetidas, cada una con dos posibles resultados que se pueden etiquetar como éxito o fracaso.  La aplicación más obvia tiene que ver con la prueba de artículos a medida que salen de una sección de montaje, donde cada prueba o experimento puede indicar si un artículo está defectuoso o no. Podemos elegir definir cualquiera de los resultados como éxito. Si los ensayos que se repiten son independientes y la probabilidad de éxito permanece constante entre cada uno de ellos, esto da lugar a un proceso denominado proceso de Bernoulli. Cada ensayo se llama experimento Bernoulli.

22 Proceso de Bernoulli  Propiedades: 1.El experimento consiste en n pruebas que se repiten. 2.Cada prueba conduce un resultado posible: éxito o fracaso. 3.La probabilidad de un éxito, denotado con p, permanece constante en cada prueba. La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p,. La probabilidad del complemento es 1- p y la representamos por q. 4.Las pruebas que se repiten son independientes. Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial.

23 Ejemplos de Experimentos de Bernoulli  Ejemplo: Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que se seleccionan tres artículos al azar de un proceso de ensamblaje, se inspeccionan y se clasifican como defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como éxito. El número de éxitos es una v.a. X que toma valores integrales de 0 a 3. {NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DND,DDN,DDD} También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones. Por ejemplo:  Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.  En el deporte un equipo puede ganar o perder.  En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.  La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.  En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.

24 Proceso Bernoulli y la Distribución Binomial  Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso que supondremos produce 25% de artículos defectuosos, P(NDN)=P(N)P(D)P(N)=(3/4)(1/4)(3/4)=9/64.  Cálculos similares dan las probabilidades para los demás resultados posibles. La distribución de probabilidad de X es  El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de la v.a.d. X se llama distribución binomial, y sus valores se denotarán como b(x; n,p) pues depende del número de pruebas y de la probabilidad de éxito en una prueba dada. Así, para la distribución de probabilidad de X, el número de defectuosos es P(X=2)=f(2)=b(2; 3,1/4)=9/64.

25 La distribución binomial  Generalizando ahora el ejemplo anterior para obtener una fórmula para b(x; n,p). Es decir, deseamos una fórmula que de la probabilidad de x éxitos en n pruebas para un experimento binomial.  Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1-p. Entonces la distribución de probabilidad de la v.a. binomial X, el número de éxitos en n pruebas independientes, es  Notar que cuando n=3 y p=1/4, la distribución de probabilidad de X, el número de artículos defectuosos, se puede escribir como

26 La función P(x=k) La función de probabilidad de la distribución Binomial, también denominada Función de la distribución de Bernoulli: k - es el n ú mero de aciertos. n - es el n ú mero de experimentos. p - es la probabilidad de é xito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda. 1-p - tambi é n se le denomina como “ q ”

27 Ejemplo1 de la función F(x=k) ¿ Cu á l es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? El n ú mero de aciertos k es 6. Esto es x=6 El n ú mero de experimentos n son 10 La probabilidad de é xito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50 La f ó rmula quedar í a: P (k = 6) = 0.205 Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5%.

28 Ejemplo 2 de la función F(x=k) ¿ Cu á l es la probabilidad de obtener cuatro veces el n ú mero 3 al lanzar un dado ocho veces? El n ú mero de aciertos k es 4. Esto es x=4 El n ú mero de experimentos n son 8 La probabilidad de é xito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666) La f ó rmula queda: P (k = 4) = 0.026 Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el n ú meros 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

29 Tabla de probabilidad binomial Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los ejemplos anteriores. Para esto debe saber los valores k y B (n,p).  k es el número de éxitos que buscamos. Este valor se encuentra entre 0 y n.  En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde 0 al 1. En los ejemplos 1 y 2 los parámetros B(n,p) son B(10,0.50) y B(8,0.1666) respectivamente.

30 Tabla de probabilidad binomial Obtenga más información de cómo asignar probabilidades utilizando las tablas.

31 Ejemplo 3 B(n,p) Busque en la tabla de probabilidad binomial Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2). Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05. La probabilidad estará en x=2 El resultado es 0.0988 En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

32 Ejemplo 4 B(n,p) Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad P(X=3). El resultado es 0.1285 En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio.

33 Ejercicio de redacción con experiencia interactiva Observe el cambio de la distribución variando el parámetro B(n,p) Presente una descripción escrita de las observaciones que obtiene al variar los valores n y p.

34 Distribución Binomial Acumulada  La distribución binomial deriva su nombre al hecho de que los n+1 términos en la expansión binomial de (q+p)n corresponden a los diversos valores de b(x; n,p) para x=0,1,2,…,n. Es decir,  Como p+q=1 vemos que Condición que debe ser válida para cualquier distribución de probabilidad.  Con frecuencia, nos interesamos en problemas donde se necesita calcular P(X<r) o P(a<=X<=b).

35 Ejemplo de Distribución Binomial Acumulada  Ejemplo: La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen la enfermedad ¿cuál es la probabilidad de que a) sobrevivan al menos 10, b) sobrevivan de 3 a 8 y c) sobrevivan exactamente 5? Sea X el número de personas que sobreviven

36 En resumen En este módulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la función binomial, tablas de distribución y la calculadora del enlace. Además, aprendimos que:  La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli  La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de n x p  La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q.  El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.

37 Ejercicio de prueba #1 Un comerciante de verduras tienen conocimiento de que el 10% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 4 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que. a) las 4 estén descompuestas. b) de 1 a 3 estén descompuestas. Para resolver la pregunta “b” repase el modulo de las reglas de probabilidad. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0.6561 + 0.2916 + 0.0486

38 Ejercicio de prueba #2 En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos. La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

39 Ejercicio de prueba #3 Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lotes. Si el 15% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén con defectos Para la pregunta “d” puede realizar la siguiente operación: 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

40 Ejercicio de prueba #4 La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

41 Ejercicio de prueba #5 Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el código de construcción, ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas viola el código de construcción b) una viola el código de construcción c) dos violan el código de construcción d) al menos tres violan el código de construcción

42 Media y la Varianza en la Distribución Binomial  La distribución binomial se aplica en muchos campos científicos. Un ingeniero industrial está interesado en la proporción de defectuosos en un proceso industrial. Esta distribución se aplica en cualquier situación donde el resultado de un proceso es dicotómico y los resultados del proceso son independientes y la probabilidad de éxito es constante de una prueba a otra.  La media y la varianza de la distribución binomial b(x; n,p) son μ = E(X) = np y σ 2 = Var(X) = npq  Es claro, que en muchas aplicaciones hay más de dos resultados posibles. Por ejemplo, el color de las crías de los conejillos de indias pueden ser rojos, negros o blancos. A menudo la dicotomía defectuoso o no defectuoso en situaciones de ingeniería es ciertamente una gran simplificación. En realidad, con frecuencia hay más de dos categorías que caracterizan artículos o partes que salen de una sección de producción.

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44 Ejercicio de prueba #6 Sea x una variable aleatoria binomial. Hallar la distribución de probabilidad de x si  = 4 y n= 10. Para resolver esta pregunta utilice la relación de μ=np Depejando por p queda P= μ/n Al tener el parámetro B(n,p) puede buscar en la tabla las x y sus probabilidades correspondientes. Esto forma la distribución de probabilidad binomial para este ejercicio.

45 Experimentos Multinomiales  El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles. Por ello la clasificación como ligero, pesado o aceptable y el registro de los accidentes automovilísticos de acuerdo con el día de la semana constituyen experimentos multinomiales.  En general, si una prueba dada puede tener como consecuencia cualquiera de los k resultados posibles E1, E2,…,Ek con probabilidades p1, p2,…, pk, entonces la distribución multinomial dará la probabilidad de que E1 ocurra x1 veces; E2 ocurra x2 veces; …; y Ek ocurra xk veces en n pruebas independientes, donde x1+x2+…+xk=n  Denotaremos esta distribución de probabilidad conjunta como f(x1,x2,…,xk; n,p1,p2,…,pk) Claramente p1+p2+…+pk=1.

46 Experimentos Multinomiales  Si una prueba dada puede conducir a los k resultados E1, E2,…,Ek con probabilidades p1, p2,…, pk, entonces la distribución de probabilidad de las v.a. X1, X2,…,Xk,que representan el número de ocurrencias para E1, E2,…,Ek en n pruebas independientes es  con  La distribución multinomial deriva su nombre del hecho que los términos de la expansión multinomial de (p1+p2+…+pk)n corresponden a todos los posibles valores de  f(x1,x2,…,xk; n,p1,p2,…,pk)

47 Experimentos Multinomiales  Ejemplo: Si se lanza seis veces un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma siete u 11 dos veces, un par igual una vez y cualquier otra combinación tres veces? Listamos los siguientes eventos posibles E1: ocurre una suma 7 u 11 E2: ocurre un par igual E3: no ocurre ni un par igual ni una suma 7 u 11. Las probabilidades correspondientes para una prueba dada son p1=2/9, p2=1/6 y p3=11/18. Estos valores permanecen constantes para todas las seis pruebas. Al usar la distribución multinomial x1=2, x2=1 y x3=3, entonces

48 Distribución Hipergeométrica

49 Distribución hipergeométrica  Si nos interesa la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos considerados como éxito y n-k fracasos de los cuales N-k artículos que se consideran fracasos cuando se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de N artículos. Esto se conoce como experimento hipergeométrico; es decir, uno que posee las siguientes dos propiedades: 1.Se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de N artículos. 2.k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N-k se clasifican como fracasos.  El número X de éxitos de un experimento hipergeométrico se denomina variable aleatoria hipergeométrica. En consecuencia, la distribución de probabilidad de esta variable se llama distribución hipergeométrica, y sus valores se denotan como h(x; N,n,k), debido a que dependen del número de éxitos k en el conjunto N del que seleccionamos n artículos.

50 Distribución hipergeométrica  La distribución de probabilidad de la v.a. hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos de los que k se denominan éxitos y N-k fracasos, es  Ejemplo: Se selecciona al azar un comité de cinco personas entre tres químicos y cinco físicos. Calcular la distribución de probabilidad para el número de químicos en el comité. Sea la v.a. X el número de químicos en el comité. Se satisfacen las dos condiciones de un experimento hipergeométrico.

51 Distribución hipergeométrica  Ejemplo: Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote? Utilizando la distribución hipergeométrica con n=5, N=40, k=3 y x=1, entonces.

52 Distribución hipergeométrica (Media y Varianza)  La media y la varianza de la distribución hipergeométrica h(x;N,n,k) son

53 Distribución Poisson

54 Proceso de Poisson  Un experimento de Poisson se deriva del Proceso de Poisson y posee las siguientes características:  Son aquellos experimentos donde los resultados ocurren durante un intervalo dado o en una región específica.  Los resultados que ocurren en un intervalo son independientes de los resultados en otro intervalo o región. De otra manera vemos que el Proceso de Poisson no tiene memoria.  La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto es proporcional a la longitud del intervalo y no depende del número de resultados en otros intervalos o región.  La probabilidad de que se den resultados simultáneos en un intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es despreciable. 54

55 Distribución de Poisson  El número X de resultados que ocurren durante un experimento de Poisson se llama v.a. de Poisson y su distribución de probabilidad se denomina distribución de Poisson.  El número medio de resultados se calcula de μ=λt, donde t es el tiempo o región específico de interés. Como sus probabilidades dependen de, la tasa de ocurrencia de los resultados, las denotaremos con p(x; t). El siguiente concepto se utiliza para calcular probabilidades de Poisson.  La distribución de probabilidad de la v.a. de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica que se denota por t, es donde λ es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. 55

56 Distribución de Poisson  Ejemplo: Una compañía telefónica observa que entran en promedio 3.2 llamadas por minuto en una línea determinada. Suponiendo que el número de llamadas se distribuye según un experimento de Poisson, se puede plantear el cálculo de las siguientes probabilidades para el intervalo de un minuto: a.probabilidad de que entren exactamente 2 llamadas. b.probabilidad de que entren a lo más tres llamadas. c.probabilidad de que entren por lo menos tres llamadas. Como la distribución binomial, la distribución de Poisson se utiliza en control de calidad, seguro de calidad y muestreo de aceptación. Además ciertas distribuciones continuas importantes que se usan en la teoría de la confiabilidad y teoría de colas dependen del proceso de Poisson.

57 57 Características de la distribución de Poisson  = 0.5  = 6 12345 X 246810 X Media Varianza    EX   () 0.2.4.6 0 P(X) 0.2.4.6 0 P(X)

58 Relación de la Distribución de Poisson con la Distribución Binomial  La distribución de Poisson se relaciona con la distribución binomial de la siguiente manera: En el caso de la binomial, si n es bastante grande y p es pequeña, las condiciones comienzan a simular las implicaciones de espacio continuo o región temporal del proceso de Poisson. La independencia entre las pruebas de Bernoulli en el caso binomial es consistente en la propiedad 2 del proceso de Poisson. Si p se hace cercano a cero se relaciona con la propiedad 3. La distribución de Poisson es el límite de la distribución binomial cuando n→∞, p→0 y np permanece constante. De aquí, si n es grande y p cercana a cero, se puede usar la distribución de Poisson, con μ=np, para aproximar probabilidades binomiales.

59 Relación de la Distribución de Poisson con la Distribución Binomial Sea X una v.a. binomial con distribución de probabilidad b(x; n,p). Cuando n , p  0 y μ=np permanece constante, b(x;n,p)  p(x;μ)  Ejemplo: En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, los que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta. Se sabe que, en promedio, uno de cada 1000 de estos artículos que se producen tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga menos de siete artículos con burbujas?  En esencia este es un experimento binomial con n=8000 y p=0.001. Como p es muy cercano a cero y n es bastante grande, hacemos la aproximación con la distribución de Poisson usando μ=(8000)(0.001)=8.

60 Fin de Presentación