Matemáticas Aplicadas CS I LÍMITES Y CONTINUIDAD U.D. 7 * 1ºBCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I ASÍNTOTAS U.D. 7.5 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Viene dada por f(x) = k / x Donde k es un número real distinto de cero. A veces también viene en forma implícita como x.y = k Se llama así porque a doble, triple, etc valor de x le corresponde la mitad, tercera parte, etc al valor de y. Es decir: La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. La gráfica de dicha función es una curva llamada HIPÉRBOLA. CARACTERÍSTICAS Su dominio es: Dom f(x) = R – {0} Presenta simetría impar: f(x) = – f(– x) La recta x=0 (eje de abscisas) es una asíntota horizontal. La recta y=0 (eje de ordenadas) es una asíntota vertical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I y EJEMPLO 1 f(x) = 4 / x Tabla de valores x y - 4 -1 - 2 -2 -1 -4 0 NO EXISTE 1 4 2 2 4 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I y EJEMPLO 2 Sea y = K / x Para k= - 4  y = - 4 / x Tabla de valores x y - 4 1 - 2 2 -1 4 0 NO EXISTE 1 - 4 2 - 2 4 - 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Paso de tabla a fórmula EJEMPLO 3 Sea y = K / x Sea la Tabla de valores: x y – 5 – 2 – 2 m n – 10 Hallar m, n y k. Como vemos que es una función de proporcionalidad inversa: x.y = k (– 5).(– 2) = 10 K= 10 (– 2).m = 10 m = 10 / (- 2) = - 5 m = – 5 n.(– 10) = 10 n = 10 / (– 10) = – 1 n = – 1 f(x) = 10 / x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Paso de tabla a fórmula EJEMPLO 2 Sea y = K / x Para x = - 4  y = 4 Hallar el valor de k. Hallar y para x = 8 Hallar x si y = -8 x.y = k (– 4).4 = – 16 K = – 16 8.y = – 16 y = – 16 / 8 = – 2 x. (– 8) = – 16 x = – 16 / (– 8) = 2 f(x) = – 16 / x y -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Aplicaciones FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA En general y = K / x Ejemplos Repartir k caramelos entre x niños. A más niños (x) menos caramelos (y) les tocará a cada uno. Penalizar las faltas de ortografía en un trabajo. A mayor número de faltas (x) menos puntuación (y) se obtiene. Obtener las mismas ganancias (k) por unos trabajos. A mayor número de trabajos (x) menor será lo que se cobre (y) por cada uno. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I ASÍNTOTAS y ASÍNTOTAS Se llaman asíntotas o ramas infinitas de una función racional aquellas rectas con las que la función tiende a coincidir, aproximándose a ellas tanto como queramos, en el infinito. Asíntota vertical x=a Asíntota horizontal y=k Asíntota oblicua y=m.x + n Todas las funciones de proporcionalidad inversa tienen una asíntota vertical y otra horizontal. Sea y = – 4 / x Vemos que los ejes son las asíntotas: x=0 e y = 0 0 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Sea y = (x2 + 1) / x Vemos que las asíntotas son: x=0 e y = x Mín Max Sea y = (x2 – 1) / x Vemos que las asíntotas son: x=0 e y = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I ASÍNTOTAS VERTICALES ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_2 Sea la función f(x) = 2.x / (x – 3) y=Lím f(x) = Lím 2.x / (x – 3) = [oo / oo] = Indet. x oo x oo Resolviendo la indeterminación, dividiendo todo entre x: y=Lím 2 / ( 1 – 3/x) = 2 / (1 – 0) = 2 x oo La recta y = 2 es una Asíntota Horizontal. Ejemplo_3 Sea la función f(x) = (x – 5) / (2 – 3.x) y=Lím f(x) = Lím (x – 5) / (2 – 3.x) = [oo / oo] = Indet. y=Lím (1 – 5/x) / (2/x – 3) = (1 – 0) / (0 – 3) = – 1 / 3 La recta y = – 1 / 3 es una Asíntota Horizontal. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I ASÍNTOTAS OBLICUAS ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: f(x) = D(x) / d(x) Quedando: f(x) = c(x) + r(x) / d(x) El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x f(x) x2 – 3 x2 3 m = Lím ------ = Lím -------- = Lím ----- – ---- = 1 – 0 = 1 x oo x x oo x2 x oo x2 x2 n = Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x2 ] = 0 xoo xoo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua. OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: f(x) = D(x)/d(x) Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x) El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x x2 – 3 – 3 -------- = x + ----- ; y = x es la asíntota oblicua ; – 3 es el resto x x Ejemplo_2 Sea la función: f(x) = (x2 + 3) / x x2 + 3 3 -------- = x + ----- ; y = x es la asíntota oblicua ; 3 es el resto Ejemplo_3 Sea la función: f(x) = (x2 – 5.x + 3) / (x – 1) x2 – 5.x + 3 - 1 ---------------- = x – 4 + -------- ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; x – 1 x – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica Ejemplo_1 Y 1 x2 – 3 f(x) = -------- x Asíntota vertical: x=0 Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0+ x +0 Límite por la izquierda de 0: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0- x - 0 Asíntota oblicua: Al dividir: y = C(x) ; y = x Pc Pc 0 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica Ejemplo_2 y x2 + 3 f(x) = -------- x Asíntota vertical: x=0 Límite por la derecha de 0: x2 + 3 +3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0+ x +0 Límite por la izquierda de 0: x2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0- x - 0 Asíntota oblicua: Al dividir: y = C(x) ; y = x Mín 0 x Max @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica Ejemplo_3 Y x2 – 5.x + 3 f(x) = ---------------- x – 1 Asíntota vertical: x = 1 Límite por la derecha de 1: x2 – 5.x + 3 – 1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑------- = ------ = – oo x1+ x – 1 0+ Límite por la izquierda de 1: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑------- = ------ = + oo x1- x – 1 0- Asíntota oblicua: Al dividir: y = C(x) ; y = x – 4 Pc 0 1 4 x Pc Pc @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I