Funciones Polinómicas

Prerrequisitos Dividir polinomios. Resolver ecuaciones. Factorizar ecuaciones cuadráticas. Hallar el grado de un polinomio.

Objetivos Trazar gráficas de funciones polinómicas. Aplicar el teorema del factor y el teorema del residuo. Escribir una función polinómica dados los ceros de la función. Aplicar el teorema de los ceros racionales.

Función Polinómica Ahora vamos a estudiar aquellas funciones donde el exponente de la variable puede ser cualquier número entero positivo, es decir, el exponente puede ser 3 ó 15 ó 24. Este tipo de función se llama función polinómica de grado n ( el grado es el exponente mayor de la variable) . La función lineal es un caso particular de la función polinómica al igual que la función cuadrática. F(x) = mx + b F(x) = ax2 + bx + c

Definición: Una función polinómica tiene la forma general F(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ….. + a1x + a0 Donde an, an-1, an-2,..., a1, a0 representan números reales. El símbolo utilizado quiere decir: an es el coeficiente (o número real) que acompaña a la xn an-1 es el coeficiente (o número real) que acompaña a la xn-1 an-2 es el coeficiente (o número real) que acompaña a la xn-2 a1 es el coeficiente (o número real) que acompaña a la x a0 es la constante, o sea, el número que no está acompañado por ninguna variable.

Si no aparece la variable x2 implica que su coeficiente es cero EJEMPLO: Indique el grado de la función, y halle a3, a2, a1 y a0 si la función está dada por: f(x) = 4x3 - .08x + ½   SOLUCION: Es una función de grado 3 donde a3 = 4 a2 = 0 a1 = -0.08 a0 = ½ Si no aparece la variable x2 implica que su coeficiente es cero

Gráficas de funciones polinómicas Las gráficas tienen las siguientes propiedades :   1. Son contínuas 2. Tienen puntos máximos o mínimos relativos 3. Se pueden hallar valores extremos y es ahí donde f cambia de función creciente a decreciente o vice versa. 4. Se puede hallar puntos de inflexión, donde la gráfica cambia de concavidad En general tienen esta forma:

Gráficas Ahora vamos a estudiar cómo trazar la gráfica de una función polinómica. La función que me dan puede estar factorizada o sin factorizar . Indiscutiblemente, es mucho más sencillo trazar la gráfica de una función polinómica que ya está factorizada . Así que comenzamos dando un ejemplo de una función polinómica factorizada.

¿Contestó las preguntas? EJEMPLO: Lo primero que vamos a buscar son los ceros de la función o sea aquellos valores de x que al sustituirlos en la función me den cero. Para hallar estos ceros, tenemos que resolver la ecuación f(x) = 0 (x-4) (x-1) (x+1) (x+3)=0  (x-4)=0 por tanto, x = 4 (x-1)=0 por tanto, x = 1 (x+1)=0 por tanto, x = - 1 (x+3)=0 por tanto, x = - 3 Trace la gráfica de f(x)=(x-4)(x-1)(x+1)(x+3)   SOLUCION: Observe que f está factorizada. Preguntas: ¿Cual es el grado de f ? ¿De qué otra forma se puede escribir f ? ¿Contestó las preguntas? Los ceros de la función

Ceros de la función (-3,0) (-1,0) (1,0) (4,0) Los números que acabamos de hallar son los ceros de la función.   Estos ceros de la función se representan gráficamente por los interceptos en el eje de x. Por consiguiente, sabemos que la gráfica de la función pasa por: (4,0), (1,0), (-1,0), (-3 , 0) Colocamos estos puntos en el plano cartesiano. (-3,0) (-1,0) (1,0) (4,0)

No son pares ordenados. Son intervalos. Observaciones Estos cuatro puntos que hemos localizado dividen el eje de x en 5 intérvalos: (-,-3) (-3,-1) (-1,1) (1,4) (4, ) Lo próximo que haremos es seleccionar un número cualquiera en cada uno de los intérvalos , sustituirlo en la función y determinar el signo que obtenemos para saber si la gráfica está por encima del eje de x o por debajo del eje de x .

Observaciones (-,-3) (-3,-1) (-1,1) (1,4) (4,) -4 -2 2 5 120 -18 12 Intervalo (-,-3) (-3,-1) (-1,1) (1,4) (4,) Número Seleccionado -4 -2 2 5 Valor de f(x) 120 -18 12 -30 192 Signo de f(x) + - Posición de la gráfica con respecto al eje de x Sobre Debajo El intercepto en y es f(0)= (0- 4)(0 –1)(0 +1)(0 +3)= 12

Gráfica de f(x)=(x-4)(x-1)(x+1)(x+3) Los interceptos en x El intercepto en y

Compare la tabla con la gráfica Intervalo (-,-3) (-3,-1) (-1,1) (1,4) (4,) Número Seleccionado -4 -2 2 5 Valor de f(x) 120 -18 12 -30 192 Signo de f(x) + - Posición de la gráfica respecto al eje de x Sobre Debajo Compare la tabla con la gráfica

Observación Note que no podemos saber cuales son los máximos relativos y los mínimos relativos. Solo podemos trazar una idea de la gráfica. En Cálculo, se estudia cómo hallar esos máximos y mínimos relativos.

Ejemplo Ahora pasamos a estudiar como trazar la gráfica de una función polinómica que no esté factorizada. Nuestro objetivo es tratar de factorizarla. Por ejemplo, ¿cómo factorizamos la función siguiente?

Ejemplo Para contestar esa pregunta tenemos que saber una serie de conceptos los cuales pasamos a estudiar.

División de polinomios Para contestar la pregunta de como factorizar un polinomio necesitamos conocer el concepto de factor o divisor de un polinomio. Recuerden la división de polinomios … Cociente Residuo Divisor Por lo tanto, podemos escribir el polinomio de la manera siguiente:   x2 + 5x + 2 = (x - 3) (x + 8) + 26

Otro Ejemplo q(x) F(x) r(x) p(x) Por lo tanto podemos escribir el polinomio de la manera siguiente: x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) Observe que en este ejemplo el residuo es cero y cuando esto ocurre decimos que podemos factorizar el polinomio. O sea que un polinomio representado por F(x) se puede escribir : F(x) = p(x)q(x) + r(x) Si r(x) = 0 entonces decimos que el polinomio factoriza como F(x) = p(x)q(x)

Teorema del Residuo Si un polinomio f(x) se divide entre x - c (donde c representa un número, entonces el residuo es f(c), es decir , si evaluamos el polinomio en c obtenemos el residuo. En el ejemplo anterior teníamos el polinomio: f(x) =x2 + 5 x + 6 dividido entre x + 3. En este caso c = - 3 y note f(-3) = 9 -15 + 6 = 0. Por lo tanto, el residuo es cero . x + 3= x – (-3)

Ejemplo: Como hallar el residuo Usando el teorema del residuo tenemos que f(x) = x2 + 5x + 2 y c = 3. Por lo tanto, f(3)=32 + 5(3) + 2 = 26 Usando el algoritmo de división

Teorema del Factor Un polinomio f(x) tiene como factor al binomio x - c si y sólo si el residuo es cero, es decir si f(c) = 0. Este segundo teorema nos dice cuándo logramos hallar los factores de un polinomio; o sea, cuando el residuo es cero. En el ejemplo de división, f(x) = x2 + 5 x + 6 y el divisor es x + 3 el cual se puede escribir x - (-3). Por consiguiente c = -3 . Si evaluamos -3 en la función obtenemos f(-3) = 9 - 15 + 6 = 0. Como el residuo es cero podemos concluir que x + 3 es factor de x2 +5x +6.

Ejemplo Recuerde que c = 2 ¿ Será x - 2 factor de f(x) = x3 - 8 ? Solución: Según el teorema del factor, como c = 2, sólo tenemos que hallar: f ( 2 ) = (2)3 - 8 = 0 Al obtener cero, implica que x - 2 es factor. ¿Cúal será el otro factor?

División sintética La pregunta que nos tenemos que hacer es ¿cuál es el otro factor?, para ello tenemos que dividir el polinomio f(x) = x3- 8 entre x - 2. Explicaré una forma más corta de llevar a cabo la división Trabajaremos con los coeficientes del polinomio.  

División Sintética Residuo Coeficiente de x3 coeficiente de x2 coeficiente de x constante 1 0 0 -8 2 4 8 2 1 2 4 0 Se suma Se suma Se suma Se baja Residuo El producto se coloca respectivamente donde indican las líneas entrecortadas y se suma con el número de arriba. Se multiplica cada uno por el 2

División Sintética: Paso a Paso Coeficiente de x3 coeficiente de x2 coeficiente de x constante 1 0 0 -8 2 1 Se baja Recuerde que estamos dividiendo x3 – 8 entre x - 2

División Sintética Se multiplica Coeficiente de x3 coeficiente de x2 coeficiente de x constante 1 0 0 -8 2 2 1 Se baja El producto se coloca aquí Se multiplica

División Sintética Se suma Se multiplica Coeficiente de x3 coeficiente de x2 coeficiente de x constante 1 0 0 -8 2 2 1 2 Se suma Se baja Se multiplica

División Sintética Coeficiente de x3 coeficiente de x2 coeficiente de x constante 1 0 0 -8 2 4 2 1 2 Se baja Se multiplica y el producto se coloca donde aparece el 4 en rojo

División Sintética Se suma Coeficiente de x3 coeficiente de x2 coeficiente de x constante 1 0 0 -8 2 4 8 2 1 2 4 Se baja Se suma Se multiplica y el producto se coloca donde aparece el 8 en rojo.

División Sintética Se suma El polinomio es x2 + 2x + 4 Coeficiente de x3 coeficiente de x2 coeficiente de x constante 1 0 0 -8 2 4 8 2 1 2 4 0 Se suma Estos números representan los coeficientes de un polinomio de grado uno menos que el polinomio dado f(x) = x3 -8 Coeficientes de un polinomio de grado 2 cuyo formato es ax2 + bx + c El polinomio es x2 + 2x + 4 Por lo tanto, la factorización es: x3 – 8 = (x –2)(x2 + 2x + 4)

Teorema de Factorización de Polinomios Si f(x) es un polinomio de grado n entonces existen números complejos c1, c2, c3...cn de manera que el polinomio se puede factorizar como f(x) = an (x - c1) (x - c2) (x - c3) .....(x - cn) donde c1, c2 c3 ...cn son los ceros de la función f(x).  Este teorema en esencia nos indica que bajo los números complejos TODO polinomio se puede factorizar y que la forma de factorizar el polinomio es mediante sus ceros. Del teorema se desprende que si conocemos los ceros de una función podemos conseguir la función.

Ejemplo Halle una función polinómica de grado 3 cuyos ceros son -5, 2, -1 y a3 = 3 Solución: Usamos el teorema anterior f(x) = 3(x - (- 5)) (x - 2) (x -(-1)) = 3(x + 5) (x - 2) (x + 1) = 3x3 + 12x2 - 21x – 30 La función es f(x) = = 3x3 + 12x2 - 21x – 30

Multiplicidad de los ceros Definición: Si el factor x - c se repite m veces entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m. Ejemplo: Si f(x)=(x-2)(x-5)(x-5)(x+1)(x+1)(x+1) entonces f tiene tres ceros: el 2 el 5 de multiplicidad dos (se repite 2 veces) el -1 de multiplicidad tres. ( se repite 3 veces)

Teorema de ceros racionales Hay un teorema que nos permite averiguar los ceros racionales de una función polinómica. TEOREMA: Si f (x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ . . . + a1x + ao tiene coeficientes enteros y si es un cero racional de f entonces p es un factor de ao y q es un factor de an .

Ejemplo Sea f(x) = 3x3 - 6x2 - 3 x + 6 . Halle los ceros racionales de esta función. Solución: Según el teorema anterior, buscamos los   factores de ao = 6 ----------- 1, 2, 3, 6 factores de an = 3 ----------------  1,  3

Continuación del ejemplo Si simplificamos las fracciones y eliminamos los que se repiten obtenemos: doce posibles ceros racionales. Sin embargo, la función es cúbica por consiguiente tiene a lo más 3 ceros. Para determinar cuáles son los verdaderos ceros, usaremos el teorema del residuo y la división sintética.

Comprobar los ceros Comprobar si 1 es un cero de f (x)=3x3 - 6x2 - 3x + 6 3 -6 -3 6 3 -3 -6  1 3 -3 -6 0 1 es un cero pues el residuo dio cero Comprobar si -1 es un cero   3 -6 -3 6 -3 9 -6  -1 3 -9 6 0 -1 es un cero de la función pues se obtuvo 0 en el residuo.

Comprobar los ceros Comprobar si - 2 es un cero 3 -6 -3 6 -6 24 -42 3 -6 -3 6 -6 24 -42 -2 3 -12 21 -36   -2 No es un cero pues el residuo es – 36 Comprobar si 2 es un cero 6 0 -6  2 3 0 -3 0 2 es un cero de la función puies el residuo es cero

Gráfica Como la función es cúbica y ya hemos conseguido tres ceros no tenemos que seguir comprobando. Por consiguiente los ceros racionales de la función f(x) = 3x3 - 6x2- 3x + 6 son 1, - 1 y 2 . Eso implica que nuestra función se puede factorizar como; f(x) = 3[(x-1)(x-(-1))(x-2)] = 3[(x –1)(x+1)(x –2)] Ahora ya estamos listos para trazar la gráfica de una función polinómica de cualquier grado. Recuerde revisar el principio de esta presentación donde se explica el trazado de una función en su forma factorizada.

Gráfica Interceptos en x

Ejemplo Sea f(x) = 2x4 + 5x3 - 11x2 –20x + 12 . Halle los ceros racionales de esta función Solución: Busquemos primero el intercepto en y, es decir, f(0) = 12, por lo tanto, la gráfica corta el eje de y en el punto (0, 12). Ahora vamos a intentar factorizar f para ello tenemos que encontrar los ceros de la función. Factores de a0 = 12 -----  1,  2,  3, 4, 6, 12 Factores de an = 2 ------ 1, 2

Comprobación de ceros Si simplificamos las fracciones y eliminamos los que se repiten obtenemos :   1, 2, 3, 4, 6, 12, ½, ¾ Comprobamos cuáles son ceros: 2 5 -11 -20 12 2 5 -11 -20 12 2 7 -4 -24 -2 -3 14 6 1 2 7 -4 -24 -12 -1 2 3 -14 -6 1 Ni 1 ni –1 son ceros pues el residuo no dio cero.

Comprobación de ceros Comprobar si 2 y –2 son ceros: 2 5 -11 -20 12 2 5 -11 -20 12 4 18 14 -12 -4 -2 26 -12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 1 -13 6 0 Por lo tanto 2 y –2 son dos ceros de la función.

Observaciones Podemos seguir probando pero hay una manera más corta de averiguar los otros dos ceros que nos faltan. Miremos a la última fila de la división sintética. Estos son los coeficientes de un polinomio cúbico.   2 5 -11 -20 12 4 18 14 -12   2 2 9 7 -6 0   coeficiente coeficiente coeficiente constante de x3 de x2 de x O sea que nuestra función se puede escribir en forma factorizada: f(x) = ( x - 2 ) ( 2x3 + 9x2 + 7x - 6 )

Continuación del ejemplo Como sabemos que -2 es también cero, usamos división sintética con el polinomio de grado tres. Luego de hacer la división obtenemos: f(x)=(x-2)(x+2)(2x2+5x-3) El factor cuadrático lo podemos factorizar con las técnicas aprendidas en álgebra f(x) = (x - 2) (x + 2) (2x - 1) (x + 3) . 2 9 7 -6 -4 -10 6 -2 2 5 -3 0

Continuación del ejemplo Una vez factorizada la función usamos las técnicas de trazado de una gráfica que aparecen al comienzo de este material. Los ceros de la función son : 2, -2, 1/ 2, -3 . Los interceptos en x son (2, 0), (-2, 0), (1/2, 0), (-3, 0). Estos interceptos dividen el eje de x en 5 intérvalos. Necesitamos saber el signo de la función en estos intérvalos para conocer si la gráfica está sobre el eje de x o por debajo. Si hacemos la pruebas correspondiente sustituyendo números obtenemos:  + - + - + -  -3 -2 ½ 2 

Gráfica

Fin Entrénate haciendo los ejercicios de práctica