Tarea II Matemáticas Francisco Raul Gandara Villaverde Funciones y gráficas Tarea II Matemáticas Francisco Raul Gandara Villaverde

Funciones Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que asocia a cada valor, x, del primer conjunto un único valor, y, del segundo. La variable x variable independiente La variable y variable dependiente. La expresión analítica: y = f(x) Ejemplo: El área de un cuadrado es función del valor de su lado. Si x es la longitud del lado e y su área. La expresión analítica de esta función es: f(x) = x2.

Funciones lineales Una función lineal establece una relación entre dos magnitudes directamente proporcionales Si y es la variable dependiente de la función y x la variable independiente, el cociente entre dos valores asociados de dos magnitudes proporcionales es una constante m : La expresión analítica de la función lineal es y = m ∙ x Las gráficas de las funciones lineales son rectas que pasan por el origen de coordenadas. Una función es lineal si verifica una de las siguientes condiciones: Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Relaciona variables directamente proporcionales. Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x.

La gráfica de una función lineal La gráfica de una función lineal es el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que y = m ∙ x Observa que: Esta gráfica es una recta que pasa por el origen La constante de proporcionalidad, m, se llama pendiente de la recta y caracteriza la función Si m > 0 la función y = m ∙ x es creciente. Si m < 0 la función y = m ∙ x es decreciente. Si m = 0 la función y = 0 es constante. Su gráfica es el eje de abscisas.

Gráficas de funciones lineales Ejemplos: Recta que pasa por B (1,3) ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ecuación? Recta que pasa por C (-2,2) Recta que pasa por D (3,0)

Funciones afines La expresión analítica de una función afín es y = m ∙ x + n, n ≠ 0 y su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. La constante m se denomina pendiente de la recta e indica la variación de la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x. La constante n se denomina ordenada en el origen y determina el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. Una función es afín si verifica una de las siguientes condiciones: Su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión analítica es de la forma y = m ∙ x + n, n ≠ 0

La gráfica de una función afín La gráfica de una función afín es el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que y = m ∙ x + n, n ≠ 0 Esta gráfica es una recta que no pasa por el origen. Las funciones afines son crecientes, decrecientes o constantes dependiendo de que la pendiente m sea, respectivamente, positiva, negativa o nula. La pendiente, m, de la recta que pasa por los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) es:

Gráficas de funciones afines Ejemplos: Recta que pasa por A y B ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ecuación? Recta que pasa por A y D Recta que pasa por E y F

Funciones de proporcionalidad inversa Una función de proporcionalidad inversa es la relación que se establece entre los valores de dos magnitudes inversamente proporcionales El producto entre dos valores asociados de dos magnitudes inversamente proporcionales es una constante k, llamada coeficiente de proporcionalidad inversa, Si y es la variable dependiente de la función y x la variable independiente se verifica que y ∙ x = k, y la expresión analítica de esta función, con k ≠ 0, es:

Gráfica de la función de la proporcionalidad inversa Las gráficas de las funciones de la proporcionalidad inversa son hipérbolas equiláteras centradas en el origen de coordenadas. Si A (x, y) es un punto de la gráfica, el producto y ∙ x de las coordenadas del punto es el coeficiente de proporcionalidad inversa, k, el cálculo de esta constante nos permite determinar la ecuación de la gráfica y dibujarla.

Gráficas de funciones de la proporcionalidad inversa Ejemplos: Un punto de la gráfica es A(1,1) ¿Cuál es el valor de k? k = 1 ¿Cuál es la ecuación? Un punto de la gráfica es B(1, 2) k = 2

Función potencia  está definida para los números reales, entonces f: R → R. Analizaremos los casos en que el exponente es un número entero, donde su gráfica dependerá si tiene un exponente par positivo, impar positivo, par negativo o impar negativo.

Función potencia La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

 función logarítmica Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función logarítmica la que tiene de base el número e (a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y suele escribirse: f(x) = ln x.

Funcion periodica Función que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable. Una función f(x) es periódicasi existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x. Al menor número p se le llama período.

 función seno La función seno es una función trigonométrica muy importante, que puede encontrarse en diversos campos de la ciencia. ... Si nos fijamos atentamente, veremos que el seno no es más que el cateto opuesto al ángulo, partido de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Además, se puede ver que es una función impar, ya que sus elementos opuestos tienen imágenes opuestas (el seno de 30 es 1/2, y el de -30 es -1/2) y también continua en todo su recorrido.

función coseno La función coseno es una función trigonométrica, que es el resultado del cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Dicho en fórmula: Visto así parece muy abstracto. Intentad pensar en una circunferencia, de radio uno.

Propiedades de la función coseno Dominio: Erre Recorrido: [-1, 1] Período: Propiedades Continuidad: Continua en Creciente en: Propiedades Decreciente en: Propiedades Máximos: Propiedades Mínimos: Propiedades Par: cos(-x) = cos x Cortes con el eje OX: Propiedades

Las relaciones trigonométricas pueden tambien ser consideradas como funciones de una variable que es la medida de un ángulo. Esta medida de ángulo puede estar dada en grados o radianes . Aquí, usaremos los radianes. Ya que, la función tangente no está definida en cos x = 0.

Podemos observar varias características la función tangente: Su dominio contiene a todos los reales excepto a aquellos en los que no existe la tangente, que son los ángulos (2k−1)π2(2k−1)π2, siendo kk un número entero. En cambio, cualquier número real pertenece a su imagen. Esta función se repite exactamente igual cada π; es decir, los valores de la función en el intervalo del dominio (−π2(−π2,π2)π2) son suficientes para conocer la función en cualquier punto. Así pues, es periódica, de período π. La función se anula en kπkπ, siendo k un número entero. La función no tiene ni máximos ni mínimos porque siempre crece (dentro de su dominio, claro está).

COORDENADAS POLARES   El sistema de coordenadas polares es un sistema coordenado bidimensional en el cual cada punto (posición) en el plano esta determinado por un ángulo y una distancia. Este sistema es especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más fácil de expresar en términos de ángulos y distancias.

CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES   Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), se tiene que las coordenadas polares son