Investigación Operativa Introducción Unidad 1 www.licrgarcia.webnode.com.ar

CONTENIDO 1. Objetivos del curso 2. Programa Resumido 3. Evaluaciones 4. Bibliografía 5. Orígenes de la I. O. 6. Casos de implementación de I.O. 7. Areas de aplicación de la I.O. 8. Modelamiento Matemático

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1. OBJETIVOS DEL CURSO: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Proporcionar herramientas avanzadas en IO que le permitan al ingeniero estudiar y planificar sistemas complejos, con el fin de plantear alternativas que en lo posible sean óptimas para su adecuado funcionamiento.

2. PROGRAMA RESUMIDO 1. Programación Lineal P.L. 2. El Problema del Transporte. 3. Programación Entera. 4. Programación Binaria y Mixta. 5. Programación Dinámica. 6. Análisis de Redes.

3. EVALUACIONES 2 Parciales 2 recuperatorio Trabajos Prácticos 1 Final 1. Formulación de problemas de P.L. 2. Solución de problemas de P.L. 3. El Problema Dual y Análisis de Sensibilidad. 4. El Problema del transporte. 5. Programación Dinámica y Análisis de Redes 6. Problema de abastecimiento (stock)

¿Qué se busca en el curso de IO? Se intenta encontrar una mejor solución llamada solución óptima.

AREAS DE APLICACIÓN DE LA IO • Manufactura. • Transporte. • Telecomunicaciones. • Salud. • Planeación. • Servicios. • Finanzas. • Otros.

1. Concepto y delimitación de la I.O. Antecedentes: Surge durante la segunda Guerra Mundial, luego y con motivo de la revolución industrial, ha ido teniendo cada vez más importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas organizaciones. Actualmente está cobrando especial importancia con el desarrollo de la informática. Definición Aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario personas a la resolución de un problema. Objetivo Decidir mediante métodos científicos el diseño que optimiza el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilización de recursos escasos.

Métodos en Investigación Operativa Métodos determinísticos: Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc. Métodos probabilísticos: Cadenas de markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos. Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.

Mapa conceptual del área de Operaciones DIAGNOSTICO Planeación de la Producción Distribución Asignación de recursos limitados Inventarios Programación de Actividades Pronósticos de Demanda Medio Ambiente Análisis de Líneas de Espera Analisis de Sistemas de Producción Información Cuantitativa y Cualitativa del Sistema bajo estudio Seleccionar el Modelo Modelos Deterministicos Modelos Estocásticos Programación Lineal Soluciones Reales Programación Lineal Entera Soluciones Entereas Programación Lineal por metas Soluciones en orden de prioridad Programación Dinámica Soluciones en Etapas continuas Optimización de Redes Soluciones orientadas a la distribución óptima Control de Inventarios Soluciones por etapas (n+1) Pronósticos Comportamient o futuro sistema basado en datos históricos Teoría de Colas Determinación de tiempos de espera y longitud de la cola promedio Simulación de Sistemas Estimación de las medidas de desempeño del sistema modelado HERRAMIENTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES TIPOS DE PROBLEMAS Mapa conceptual del área de Operaciones

Características de la IO Examen de las Relaciones Funcionales de un Sistema Utilización de del Grupo Interdisiplinario Adopción del Enfoque Planeado (Método Cientifico) Descubrimientos de Nuevos Problemas para su estudio Definición de Ia Investigación de Operaciones. El Comité de investigación de Operaciones del Consejo Nacional de Investigación presentó la siguiente definición: “La Investigación de Operaciones es la aplicación del método científico al estudio de las operaciones de las grandes y complejas organizaciones o actividades”.

Modelos IO

Tipos de Modelos Usados Definición de Modelos: El modelo es una representación o abstracción de una situación u objeto reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones de la acción y la reacción en términos de causa y efecto. Modelos Iconicos. Modelos Analógicos. Modelos Simbólicos (o Matemáticos) Cuantitativos Cualitativos Estándares y hechos a medida Probabilisticos (estocasticos) o Deterministicos Descriptivo y de optimización Estáticos y Dinámicos Simulación y No simulación

Etapas de un ejercicio de I.O. Básicamente la I.O. sigue los siguientes pasos: La observación del problema La construcción de un modelo matemático que contenga los elementos esenciales del problema La obtención en general, con al ayuda de algorítmos implementados informáticamente, de las mejores soluciones posibles. La calibración e interpretación de la solución y su comparación con otros métodos de toma de decisiones.

Fases de un estudio FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO   FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO NECESIDAD DE REORGANIZACIÓN MODELO DEL SISTEMA REAL SISTEMA DE INTERÉS OBTENCIÓN DE DATOS TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y CONTROL SOLUCIÓN DEL MODELO INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS E IMPLICACIONES VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Fases de un estudio

Modelos a Estudiar

Investigación Operativa Programación Lineal Unidad 2

Investigación Operativa Método Simplex

El Problema de P.L. Consiste

El Problema de P.L. Consiste

El Problema

Construcción del Modelo de P.L.

Tabla del Método Simplex

Resolución del P.L. Mediante el Método Simplex

Resolución del P.L. Mediante el Método Simplex

Resolución del P.L. Mediante el Método Simplex

Problema de fabrica de bombones

A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer Paso De la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer Paso De la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Terecer Paso Dividir la fila del pivote por el pivote y remplazar los valores existentes Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

Problema de Alimento de Mascotas

A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer Paso De la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer Paso De la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Terecer Paso Dividir la fila del pivote por el pivote y remplazar los valores existentes Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

Tabla Optima del Problema

Dualidad

Dualidad Directo (Unidades) ∑ Aij [UR / UP] . Xj [UP] = Bi [UR] Bk Yk C Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 120 150 1 -0,285 -2,856 2,142 100 1,142 1,428 -3,571 Zi-Bi   33000 -20 -200 -100 Valores Marginales Cajas A Cajas B Directo (Unidades) ∑ Aij [UR / UP] . Xj [UP] = Bi [UR] Dual (Unidades) ∑ Aij [UR / UP] . Yj [UB / UR] = Cj [UB / UP]

Ejercitación Ejercicio. Una empresa manufacturera paralizó la producción de ciertos productos por bajas utilidades. Esto generó una capacidad ociosa de producción. Se planteó entonces la necesidad de asignar esa nueva capacidad disponible a la elaboración de hasta 3 productos (1, 2, 3). La información elaborada es la siguiente: Marketing informa que el potencial de ventas para los 3 productos supera la máxima producción posible, o sea que la demanda del mercado es superior a la producción factible, lo que posibilita que todo lo producido pueda ser vendido. Los beneficios son $ 20, $ 6, $ 8 para los productos 1, 2 y 3 respectivamente. Fijar la producción de cada producto para maximizar los beneficios.

Ejercitación Una empresa fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18 hs. de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de u$s 400.- La máquina estándard requiere 3 hs. de mano de obra, 4 hs. de pruebas y produce una utilidad de u$s 200.- Se dispone de 800 hs. de mano de obra 600 hs. para pruebas cada mes. Se pronostica que la demanda mensual para el modelo de lujo es no mas de 80 unidades/mes y las maquinas estándar no mas de 150 unidades/mes. La gerencia desea maximizar la utilidad total. Formular el P.L

Ejercitación Maximizar Z = 9 X1 + 5 X2 2 X1 + 2 X2 =< 12 Utilizando el método simplex resuelva el siguiente modelo de PL. Maximizar Z = 9 X1 + 5 X2 Sujeto a 2 X1 + 2 X2 =< 12 X1 + 2 X2 =< 8 X1 – 4 X2 => 4

Investigación Operativa INVENTARIOS

CEP Cantidad Económica de Pedido Sin Agotamiento

1.- MODELO CLÁSICO DE CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO (CEP)

Mantenimiento del Stock Costo de Pedir Costo Incremental Total

Cantidad Optima de Pedido Cantidad Incremental Total Cantidad de veces que se compra en un ejercicio Tiempo entre pedidos

Cuadro de Resultados

Formulas del Modelo

Ejercicio CEP sin Agotamiento

CEP Cantidad Económica de Pedido Con Agotamiento

2.- MODELO CEP CUANDO SE PERMITEN FALTANTES

Investigación Operativa Redes

Árbol de expansión mínima (situación 1) 2. Algoritmo de la ruta más corta (situación 2) 3. Algoritmo del flujo máximo (situación 3) 4. Algoritmo de redes capacitadas de costo mínimo (situación 4) 5. Algoritmo de la ruta critica (CPM) (situación 5)

Definir una Red

Árbol de expansión mínima (situación 1) Política: El objetivo es conectar TODOS los nodos iniciando siempre el trayecto por el camino mas económico.

Árbol de expansión mínima (situación 1)

2. Algoritmo de la ruta más corta (situación 2)

Árbol de expansión mínima (situación 2)

Ejercicio 3: Resuelva el mismo problema considerando el nodo 4 como inicial

Investigación Operativa Redes Modelo de Flujo Restringido

Modelo del Problema de Flujo Restringido de Costo

4. Algoritmo de redes capacitadas de costo mínimo (situación 4)

Modelo del Problema de Flujo Restringido de Costo Proveedor Materia Prima Transporte Plantas del Compuesto Básico Transporte Planta A (400-800) 2 $ 10 4 6 $ 3 8 660 $ 25 + 500 $ 200 / Tn $ 4 $ 12 1 Fuente Distribución 1460 Ton. $ 9 $ 5 $ 210 / Tn + 750 3 5 $ 28 7 $ 2 9 800 $ 13 Planta B (450-900)

Investigación Operativa Redes PERT

5. Algoritmo de la ruta critica (CPM) (situación 5)

Investigación Operativa Programación Dinámica

Y H E L v O C I A F M cBv X J D P G K 3 2 1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 N -3 2 3 A F M cBv X 7 2 2 8 1 -1 J D P 5 2 3 4 -2 G N 4 2 -3 K

Calculos Estado 0 S(a)= Min { 1 + S(c) ; 0 + S(d) } 13 12 14 Estado 1 S(c)= Min { 5 + S(e) ; 4 + S(f) } 12 9 8 S(d)= Min { 7 + S(f) ; 3 + S(g) } 14 8 11 Estado 2 S(e)= Min { 2 + S(h) ; 1 + S(i) } 9 10 8 S(f)= Min { 1 + S(i) ; 2 + S(j) } 8 8 6 S(g)= Min { 5 + S(j) ; 4 + S(k)} 11 6 7 Estado 3 S(h)= Min { 3 + S(l) } 10 7 S(i)= Min { 3 + S(l) ; 4 + S(m) } 8 7 4 S(j)= Min { 2 + S(m) ; 2 + S(n) } 6 4 5 S(k)= Min { 2 + S(n) } 7 5 Estado 4 S(l) = Min { 5 + S(o) } 7 2 S(m)= Min { 2 + S(0) ; 8 + S(p) } 4 2 1 S(n)= Min { 4 + S(p) } 5 1 Estado 5 S(o)= Min { 2 + S(b) } 2 S(p)= Min { 1 + S(b) } 1

Formalización del Modelo 1.- Definir las Variables de Estado y Etapa X = Variable de etapa (toma los valores 0 a 6) Y = Variable de estado 2.- Definir los Parámetros del Modelo (costos ó beneficios asociados a cada estado del modelo) A0(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y+1) A1(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y-1) 3.- Definir el Funcional S(x,y) = Costo mínimo para ir desde el punto (x,y) hasta el punto (6,0) (NODO B) 4.- Expresión Recursiva Aplicando el teorema de optimalidad de manera que el funcional pueda ser determinado usando el valor del funcional hasta la etapa anterior. A(0) (x,y) + S(X+1, Y+1) Con X= 6………..0 S(X,Y)= Min Y perteneciente al conjunto U(x) A(1) (x,y) + S(X+1, Y-1) U(0)=U(6)= {0}; U(1)=U(5)= {1,-1}; U(2)=U(4)= {2,0,-2}; U(3)= {3,1,-1-3} 5.- Definir condiciones iniciales y de borde Inicial (6,0) = 0 Borde A(0) (3,3) = A(0) (4,2) = A(0) (5,1) = infinito A(1) (3,-3) = A(1) (4,-2) = A(1) (5,-1) = infinito 6.- Objetivo del modelo S(0,0)

Ejercicio 1 Y v cBv A X Ejercicio 3 2 3 2 C4 cA 3 7 9 1 v 1 cD c1 c7 5 1 2 5 4 4 1 2 3 4 5 6 A c3 cB cBv X 9 2 4 8 6 7 -1 c8 C2 cF 5 8 9 7 -2 c5 cC 6 10 -3 c9 Ejercicio 3 Efectúe el mismo ejercicio considerando que cada vez que se cambie de trayecto (es decir se doble) se debe considerar un sobre costo de $ 6