FUNCIONES ELEMENTALES U.D. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT FUNCIONES RACIONALES U.D. 6.6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Sea f(x) = |x| Asigna a cada valor de x su imagen positiva. Esto significa que: x , si x>=0 f(x) = -x, si x<0 Dom f(x) = R Img f(x) = R+ Simetría: PAR Mínimo: Mín (0,0) , en el vértice. Decreciente en (-oo, 0) Creciente en (0, +oo) R- R+ Mín(0,0) @ Angel Prieto Matemáticas Aplic. CCSS I

Matemáticas Aplic. CCSS I f(x) Sea f(x) = | 2x –3 | 2x – 3 , si x ≥ 1,5 f(x) = - 2x +3 , si x < 1,5 Dom f(x) = R Img f(x) = R+ Simetría: No hay Mín (1,5 , 0) , que es el vértice. Decreciente en (-oo, 1,5) Creciente en (1,5 , +oo) Tabla de Valores: x -1 0 1 2 3 f(x) 5 3 1 1 3 5 3 1 x –1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Matemáticas Aplic. CCSS I

Matemáticas Aplic. CCSS I Sea f(x) = | x2 –9 | x2 –9 , si x2 ≥ 9  en (- oo, -3)U(3 , oo) f(x) = 9 - x2 , si x2 < 9  en (- 3 , 3) Dom f(x) = R Img f(x) = R+ Simetría: Hay simetría PAR pues f(x) = f(-x) Decreciente en (-oo, -3) y en (0, 3) Creciente en (-3, 0) y en (3, + oo) Tabla de Valores: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 7 0 5 8 9 8 5 0 7 98 7 5 -4 -3 -2 –1 0 1 2 3 4 @ Angel Prieto Matemáticas Aplic. CCSS I

Apuntes 1º Bachillerato CT FUNCIÓN RACIONAL Una función f se llama racional si se puede escribir como cociente de dos funciones polinómicas, f(x) = P(x) / Q(x) , donde Q(x) es de grado mayor o igual que la unidad. Ejemplos a desarrollar: 1.- f(x) = x / (x2 + 1) 2.- f(x) = (x +1) / (x2 – 1 ) 3.- f(x) = (x2 – 5.x) / (x – 5) 4.- f(x) = (x2 + 4) / (x2 – 4 ) 5.- f(x) = (x + 3) /(x2 + 3. x + 2) 6.- f(x) = (x + x3 ) / (x4 + 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT CARACTERÍSTICAS DOMINIO El dominio, Dom f(x), de una función racional, f(x) = P(x) / Q(x), es todo R excepto los valores de x tales que Q(x)=0 En dichos puntos mencionados la gráfica presenta una discontinuidad. RECORRIDO El recorrido o imagen, Img f(x), de una función racional es más difícil de determinar, siendo preciso en muchos casos la gráfica de la función. Así, aunque en la mayoría de los casos la asíntota horizontal no forma parte del recorrido, lo forma si ésta es cortada por la gráfica. CORTES CON LOS EJES Como ya se vio el punto de corte con el eje Y será (0, f(0(). Para hallar los puntos de corte con el eje X basta hacer el numerador igual a cero. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT CARACTERÍSTICAS SIGNO DE LA FUNCIÓN Vale lo señalado en el apartado correspondiente ya estudiado. SIMETRÍAS ASÍNTOTAS Verticales: Suelen ser los puntos que anulan el denominador, excepto aquellos que también anulen el numerador. Horizontales: Habrá siempre que grado[P(x)] ≤ grado[Q(x)]. Oblicuas: Habrá sólo en el caso en que grado[P(x)] = grado[Q(x)] + 1 TENDENCIA Es importante hallar los límites laterales en los puntos de asíntotas verticales. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 1. f(x) = x /(x2 + 1) Dom f(x) = R Presenta simetría impar f(x) = -f(-x) Hay una asíntota horizontal y vale y = lim f(x) = 0 xoo x y -3 -0,3 -2 -0,4 -1 -0,5 0 0 1 0,5 2 0,4 3 0,3 Img f(x) = [Mín, Máx] = [- 0,5 , 0,5] y -1 -0,5 0,5 1 -2 -1 0 1 2 x Img f(x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT 2.- f(x) = (x + 1) / (x2 – 1) Dom f(x) = R – {1, -1} Sólo hay una asíntota vertical, no dos. Hay una asíntota horizontal y vale y = lim f(x) = 0 xoo x y -2 -0,33 -1 ----- -0,5 -0,66 0 - 1 1 ----- 1,5 2 2 1 3 0,5 Img f(x) = R – { 0 } y -2 -1 1 2 -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT 3.- f(x) = (x2 – 5.x) / (x – 5) Dom f(x) = R – {5} No hay asíntota vertical, pues en x=5 También se anula el numerador. No una asíntota horizontal: y = lim f(x) = oo xoo x y -1 -1 0 0 1 1 3 3 4 4 5 --- 6 6 Img f(x) = R – { 5 } y -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos 4, 5 y 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 7 4 – 2.x2 f(x) = ----------- x + 3 Dom f(x)= R – {- 3} Asíntota vertical: x= - 3 4 – 2.x2 4 - 18 -14 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----------- = ----- = - oo x- 3 x + 3 - 3 + 3 0 Tendencia lím f(x) = - oo x- 3+ lím f(x) = + oo x- 3- Asíntota horizontal: y =lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = - oo No hay xoo x + 3 Asíntota oblicua: - 2.x2 + 4 14 -------------- = - 2.x + 6 -- -------- x + 3 x + 3 y = -2.x + 6 es la a. oblicua. Máximos y mínimos relativos: La derivada igualada a cero – 4x.(x+3) – 4+2.x2 y’ = ‑--‑‑‑‑‑------------------‑‑ = 0 (x + 3)2 x = - 0,35 y - 5,64 Y Mín Max -3 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT