Matemáticas Aplicadas CS I DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I TASAS DE VARIACIÓN U.D. 10.1 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Incremento de una función Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: En f(x): Δy / Δx = 4 / 4 = 1 En g(x): Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. y 4 g(x) f(x) 0 2 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

TASA DE VARIACIÓN MEDIA Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = ----------------- b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) - 48 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 24 - 4 – (-2) - 2 En [0, 2] f (2) – f (0) 0 - 0 TVM = ----------------- = --------- = 0 2 – 0 2 En [-1, 1] f (1) – f (-1) - 3 - 3 TVM = ----------------- = --------- = - 3 1 – (-1) 2 y=f(x) -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 La distancia recorrida por un móvil en los 7 primeros segundos tras ponerse en marcha viene dada por la función: f(t) = t2 + 2.t Halla la TVM de la función en el intervalo [2, 5]. ¿ Qué significado físico tiene?. En [2 , 5] f (5) – f(2) (25 + 10) – (4+4) 35 – 8 27 TVM = ----------------- = ------------------------ = ------------- = ------ = 9 5 – 2 3 3 3 Significa la velocidad media en dicho intervalo: 9 m/s. En [6, 7] f (7) – f (6) (49+14) – (36+12) 63 – 48 TVM = ----------------- = ------------------------- = ----------- = 15 7 – 6 1 1 En el último segundo su velocidad media es de 15 m/s @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PUNTUALIZACIONES PRÁCTICAS Hemos dicho que la TASA DE VARIACIÓN MEDIA es: f (b) – f (a) TVM = ----------------- b - a Cuando el intervalo [a, b] es reducido, se suele indicar de esta manera: f (a + h) – f (a) TVM = --------------------- h Ahora b = a + h b – a = h es la variación o incremento de x, Δx. f (a + h) – f (a) es la variación o incremento de f (x), Δ f (x) o Δy. TVM = Δy / h = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (a+h, f(a+h)). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Incremento de una función Sea la función f(x) = x / 2  Verde Sea la función g(x) = x2/ 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] la misma TVM al tener el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 TVM = 2 / 4 = 0’50 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo es muy diferente. y 2 0 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. Es necesario distinguir unas de otras funciones. Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + ▲x) – f (a) TVI = lím ------------------------- ▲x 0 ▲x Nota: Es indiferente poner h o ▲x y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 0 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVI de la función en: x = – 2 y en x = 1 ¿Qué significado físico tienen? Se dibuja la función. Se dibuja la recta tangente en x = – 2 Se halla la pendiente de dicha tangente. 16 m = TVI = ----- = 8 2 Al ser m positiva, es creciente la función. Se dibuja la recta tangente en x = 1 – 1 m = TVI = ----- = – 1 1 Al ser m negativa, es decreciente. y=f(x) -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 Sean las tres funciones dibujadas. Hallar la TVI de ambas en x=1 Se dibuja la recta tangente en x = 1 Se halla la pendiente de la recta. 1 m = TVI = ----- = 0,5 2 0,5 0,125 m = TVI = --------- = 0,25 y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I