CALCULO DE LÍMITES Elaborado por: Ing. Juan Adolfo Álvarez Martínez Noviembre, 2014 http://www.uaeh.edu.mx/virtual

CONCEPTOS BASICOS el límite de una función esta asociado de manera directa con la idea de continuidad, es decir permite conocer y/o demostrar si una función es continua o discontinua

Métodos. Para calcular límites en una función, existen varias formas: * los métodos algebraicos como la factorización, la división entre la mayor potencia, la regla de L´Hosspital, * los métodos numéricos usando tablas de valores o * los métodos gráficos.

reglas de operación Es importante mencionar antes de proceder con los procedimientos que debe tenerse en cuenta algunas reglas que es preciso no olvidar y tener siempre presentes. Dichas reglas pueden ejemplificarse en las siguientes diapositivas de manera informal y son las siguientes: A) No se puede dividir un número entre cero: el resultado de dividir un número entre cero NO está definido, puede considerarse igual a INFINITO B) Al dividir el número entre infinito el resultado es cero. Es decir lo inverso del caso anterior. Estas explicaciones las puedes comprobar en la siguientes 2 diapositivas.

División entre cero. Si observas la tabla y la grafica de la función con detalle, puedes notar que al asignando valores a “x” tanto en forma decreciente o creciente y aproximándose al cero, el valor de la variable “y” se va haciendo mas grande. Se Puede observar que precisamente en x=0 no esta definida la función, es decir no hay valor para “y”, lo que significa que es discontinua en este punto

Si nos acercamos aún mas a valores mas próximos a cero, se observa que los valores de “y” se van incrementando cada vez mas hacia números mas grandes y positivos. Y asi sucesivamente, el valor de “y” aumenta considerablemente hacia el infinito positivo. Por ello puede deducirse que “cuando la función se aproxima a cero el resultado es infinito. Formalmente se explica de la forma siguiente: Cuando el valor de “x” tiende a cero la función se vuelve infinita.

El proceso inverso: Ahora bien se puede de esta misma grafica, deducir que si ahora en lugar de aproximarse a cero, a partir de este punto: y se va uno alejando hacia la derecha, es decir hacia valores positivos cada vez mayores, la función tiende a cero, es decir los valores de “y” se van reduciendo cada vez mas hasta acercarse hacia el valor de cero. Lo mismo sucede si ahora los valores de “x” los vamos haciendo que se alejen de cero pero a números cada vez mas negativos, el resultado es que la función se aproxima a cero Esto significa entonces, cuando los valores de “x” tienden a infinito, entonces la función se aproxima a cero.

resumiendo: Un numero dividido entre cero : indefinido (infinito) Un numero dividido entre infinito : cero Es importante mencionar que el infinito es un concepto, no un número

Métodos para calcular límites: la factorización Una vez hechas algunas aclaraciones respecto al tema, se explican los métodos de calculo, este primer método se emplea en los casos donde existe un producto notable por ejemplo en funciones racionales para determinar si una función es continua. Se emplea por ejemplo los productos notables de cuadrado de un binomio, binomios conjugados, diferencia de cuadrados

ejemplo 1. Determine si la función: Luego como resulta una indeterminación, es decir en este caso división entre cero, se procede a factorizar , lo cual resulta:

Lo que significa que el límite es 1/7, es decir cuando el valor de “x” tiende a 4 la función (el valor de y) se aproxima a 1/7. Se aclara que la función no es continua en x= 4 ya que precisamente es este punto donde no hay valor de “y”, sino mas bien al aproximarse a 4 el valor de “x”, entonces “y” se aproximará a 1/7

Ejemplo 2

Esto se puede comprobar en la grafica de dicha función. Interpretación: Esto quiere decir que cuando el valor de “x” se aproxima a – 5, la función (el valor de “y” se aproxima a – 10 Que formalmente se expresa como: cuando “x” tiende a -5 el límite es -10 Esto se puede comprobar en la grafica de dicha función. También significa por supuesto que la función es discontinua en x = - 5, pero el límite existe. Gráficamente se observa que la función se interrumpe porque en efecto es discontinua en x= - 5

Método numérico. Se analiza la tabla valores y analiza el punto que se desea conocer el limite, para ello se va aproximando desde valores mayores al punto en cuestión y observa el comportamiento con valores cercanos a nuestro punto de análisis , y a su vez se observan valores menores al punto considerado hasta aproximarse al punto. En el caso mostrado el punto a estudiar es X = 2, por lo que para valores menores e incrementándolos a x=2 la función se aproxima a 4, y también desde valores mayores pero en forma decreciente, la función también se aproxima a 4, por lo que se dice que la función aproximándose por la izquierda tiene como limite 4, y el limite por la derecha es también 4, y cuando los limites son iguales la función es continua en este punto.

Método grafico Se aprovecha la oportunidad de este ejemplo anterior para explicar que en una grafica si los limites tanto por la izquierda como por la derecha son iguales entonces la función es continua, es decir tanto por un lado como por otro la función converge hacia el mismo punto, en este caso es y= 4

Ejemplo 2 Se puede observar en la grafica mostrada que por la izquierda en la función Cuando se aproxima “x” a -3 el límite es 1 por la derecha y en sentido decreciente, también se observa que el limite es 1 Eso significa que el limite es el mismo.

Asíntotas Idea intuitiva. Cuando una función por ejemplo del tipo racional, se observa su comportamiento ya sea en forma creciente o decreciente, hacia un valor, se puede notar una característica que corresponde a la de irse aproximando hacia una recta ya sea vertical u horizontal a medida que se le asignan valores cercanos a dicha recta.

ejemplo Veamos el caso de la función mostrada en la figura: se observa que a medida que el valor de “x” desde “el infinito positivo”, y tomando valores decrecientes, la función se va aproximando cada vez mas a la recta vertical en color azul, Lo mismo sucede con valores negativos, es decir desde el infinito negativo y en forma creciente la grafica se dice se va haciendo asintótica. En este caso la función tiene una asíntota vertical que es la recta x= 2

Formalmente se dice entonces que: cuando x” tiende al valor de 2 por la derecha, el resultado es infinito ( - ) Y cuando el valor de “x” tiende a 2 por la izquierda el valor de la función es infinito (+) lo cual en términos analíticos se expresa como:

Asíntotas horizontales Analizando el comportamiento de la función, pero ahora observando los valores a partir de 2 pero asignándolos de manera que sean crecientes, es decir hasta el infinito positivo, se puede observar que la función también se aproxima hacia un valor en “y”, lo mismo sucede cuando a partir de valores de 2 pero en forma decreciente hacia el infinito negativo, la función se aproxima hacia el mismo valor que en este caso es la recta horizontal y= 1 como puede observarse gráficamente. Se dice entonces que la función tiene una asíntota en y= 1

Ejemplo 2 Veamos ahora un caso donde no tenemos la expresión analítica de la función pero la grafica nos permite identificar su comportamiento tanto en los valores de “x como de “y”, en forma que puedan determinarse sus asíntotas. Observar la grafica en los valores que va tomando “x”, tanto en forma creciente como decreciente.

análisis Se puede identificar como primer punto que: La función es discontinua, y que el valor donde la función es discontinua es en “x” = 1, por ello existe una asíntota vertical en ese punto. Luego también se observa que la variable “x” a partir de esa asíntota tomando valores hacia infinito positivo e infinito negativo, la función se aproxima al valor de y= 3, por lo que también tiene una asíntota pero en este caso es horizontal

Conclusión: entonces la función tiene una asíntota vertical x= 1 Y una asíntota horizontal y= 3 Y los límites son:

Ejemplo 3 NO todas las funciones tienen asíntotas verticales y horizontales, puede suceder que la función en algunos casos solo tenga una asíntota horizontal como la grafica mostrada que es racional, pero es continua, sin embargo su asíntota es horizontal: y= -2

Ejemplo 4 En la función mostrada, la función tiene dos asíntotas verticales, y de hecho esos puntos es donde es discontinua, en este caso Son: x= 2 y x= -2 No necesariamente tienen que están dibujadas en el plano cartesiano, mas bien se trata de identificar dichas asíntotas en la grafica para determinar en que puntos la función es discontinua

Las rectas asíntotas se trazan para identificar mas claramente el comportamiento grafico de la función, y determinar en tal caso si es continua o discontinua y en que valores Como en el ejemplo dado Las asíntotas verticales son x= 2 y x = - 2 Asimismo el eje “x” es en este caso la asíntota horizontal

referencias. Ayres F. (2010.) Calculo diferencial e integral. Editorial Mc Graw Hill. México D. F.