LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES U.D. 4.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

DISCONTINUIDAD GRÁFICA 1 Ejemplo 1 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 la función existe y vale 1. Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la función vale 0 (y=0). Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito. x + 1 , si x≤0 y = – x , si x>0 Ejemplo 2 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la función y a la izquierda del 0 su valor baja hasta – oo. x=0 no forma parte del dominio. -2 -1 0 1 2 x2 – 2 , si x<0 y = log x , si x>0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES Si una función no es continua en un punto, x=a, entonces presentará en dicho punto una discontinuidad, que puede ser de cuatro formas: 1) EVITABLE , que es cuando no existe la función en dicho punto, pero sí el límite. 2) DE 1ª ESPECIE , cuando el valor de la función en dicho punto no coincide con el límite. 3) DE 2ª ESPECIE SALTO FINITO , cuando no existe el límite, al no coincidir el límite derecho con el izquierdo. 4) DE 2ª ESPECIE SALTO INFINITO , cuando uno de los límites derecho o izquierdo, o los dos, son más o menos infinito. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos EJEMPLO_1 x2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática Sea f(x) = x – 3 , si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua. Miramos si es continua en el punto x=3 1) f(3) = NO existe. Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 32 – 9 = 0 Lím f(x) = 3 – 3 = 0 x3- x3+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0. 3) f(3) <> lím f(x) , al no existir f(3) x3 La función en x=3 presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos EJEMPLO_2 4 , si x < 2  Función constante Sea f(x) = x – 3 , si x > 2  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función constante ) es continua. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua. Miramos si es continua en el punto x=2 1) f(2) = NO existe. Es decir, x=2 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 4 Lím f(x) = 4 – 3 = 1 x2- x3+ El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego no existe. Al no existir límite por ser diferentes, la función en x=2 presenta una DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO. @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 6 6

Ejemplos EJEMPLO_3 x2 – 9 , si x < 1  Función cuadrática f(x) = x – 3 , si x > 1  Función lineal A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función lineal) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 3 Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 12 – 3 = – 2 Lím f(x) = 1 – 3 = – 2 x1- x1+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale – 2 3) f(1) <> lím f(x) , pues 3 <> – 2 x1 La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD DE PRIMERA ESPECIE. @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 7 7

Ejemplos EJEMPLO_4 x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = ln (x – 1) , si x > 1  Función logarítmica A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función logaritmica) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 12 – 2 = 1 – 2= – 1 Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2 = – 1 Lím f(x) = ln (1 – 1 = ln 0+ = oo x1- x1+ No existe límite por la derecha, luego NO existe límite. La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO INFINITO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos EJEMPLO_5 Estudiar la continuidad de la función: Solución A la izquierda de x=-1 es continua. En x =-1 f(-1)=3 Lim f(x) = 1 lím f(x) = 2.(-1)+3 =1 x-1- x-1+ En x = -1 la función es discontinua. En x = 0 f(0) = 1/(0 – 3) = -1/3 Lim f(x) = 2.0+3 =3 lím f(x) = -1/3 x0- x0+ En x = 0 presenta discontinuidad de salto finito. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Estudiar la continuidad de la función: … EJEMPLO_5 Estudiar la continuidad de la función: En x = 3 presenta discontinuidad asintótica. En x = 5 f(5)= 1 /(5 – 3) = ½ Lim f(x) = 1/(5-3)=1/2 lím f(x) = 1/0 = oo x5- x5+ En x = 5 presenta discontinuidad asintótica. A la derecha de x = 5 es continua. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

… EJEMPLO_5 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.