Matemáticas 2º Bachillerato C. T. MÉTRICA DEL ESPACIO U.D. 11 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIAS EN EL ESPACIO (y II) U.D. 11.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. PERPENDICULAR COMÚN PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN Sean las rectas r: (A, v) y s(B,u) Siendo A(a1, a2, a3) , v(v1, v2, v3) , B(b1, b2 , b3) y u(u1, u2, u3) Las rectas no son coincidentes ni paralelas, o sea los vectores directores u y v no son iguales ni proporcionales. Suponemos pues que no son secantes, sino que se cruzan. Existirá un segmento AB, tal que la distancia de A, perteneciente a r, a B, perteneciente a s, es la mínima posible. Ese segmento AB será perpendicular a r y a s. Ese segmento será perpendicular común a r y a s. Y por tanto el vector director del segmento AB será el producto vectorial de u y v. Sea w el vector director de AB. i j k w = uxv = v1 v2 v3 u1 u2 u3 r A B s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO Hallar la perpendicular común a las rectas: r:(A, v) y s:(B,u) Siendo A(1, 0, 0) , v(0, 1, 1) , B(0, 1, 1) y u(1, 0, 1) Sea w el vector director de la perpendicular común: i j k w = uxv = 0 1 1 = i + j – k 1 0 1 En paramétricas: r: (x,y,z) = (1, 0, 0) + λ.(0, 1, 1)  x = 1 ,, y = λ ,, z = λ s: (x,y,z) = (0, 1, 1) + μ.(1, 0, 1)  x = μ ,, y = 1 ,, z = 1 + μ t: (x,y,z) = (a, b, c) + k. (1, 1, -1)  x = a + k ,, y = b + k ,, z = c – k La intersección de s y t nos dará el punto común: μ=a+k ,, 1=b+k ,, 1+ μ=c – k 1 = b + k ,, 1 + a + k = c – k k= 1 – b  1 + a + 1 – b = c – 1 + b  a – 2b – c = – 3 Valen los parámetros; a = 0, b= 1 , c=1 La perpendicular común será: (x,y,z)=(0, 1, 1) + k(1, 1, -1) A r s B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA ENTRE RECTAS DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS. 1.- Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es nula. 2.- Si son paralelas o se cruzan puede ocurrir: 2.1.- Paralelas: Basta calcular un punto de una de ellas y la distancia entre él y la otra. 2.2.- Se cruzan: Sean A y B dos puntos de r y s respectivamente y u, v sus vectores directores, se tiene que: siendo el numerador el módulo del producto mixto y el denominador el módulo del producto vectorial. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. Ejercicio 1 Hallar la distancia entre las rectas: r: (A, v) y s(B,u) Siendo A(1, 1, 1) , v(2, 0, 3) , B(-1, 0 , -1) y u(0, -1, 2) Las rectas no son coincidentes ni paralelas puesto que no tienen el mismo vector director. Pudieran ser secantes ( se cortan en un punto común), en cuyo caso la distancia que hallemos será nula. Suponemos pues que no son secantes, sino que se cruzan. Sabemos que: 1+1 1-0 1+1 2 0 3 0 -1 2 | -4+6-4| 2 2.√29 d(r,s)= ---------------------------- = ------------- = ----- = -------- i j k |-3i-4j-2k| √29 29 0 -1 2 r s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. Ejercicio 2 Hallar la distancia entre las rectas: r: (x – 2)/3 = (y – 2)/(-1) = (z + 1)/4 y s={ x = 5 + t ; y = –1 ; z = 8 + 2t } Vector director de r: u = (3 ,– 1 ,4) Vector director de s: v = (1 , 0 , 2) Vector AB, donde A y B son puntos de las rectas r y s respectivamente: A=(2, 2 ,– 1) , B(5 ,– 1, 8)  AB =(5 – 2 ,– 1 – 2 , 8 + 1) = (3 ,– 3 ,9) Las rectas no son coincidentes ni paralelas puesto que no tienen el mismo vector director. Pudieran ser secantes ( se cortan en un punto común), en cuyo caso la distancia que hallemos será nula. 3 –3 9 3 –1 4 1 0 2 | 9 | 9 d(r,s)= ---------------------------- = ------------- = ----- = 3 u. i j k |-2i-2j+k| √9 3 –1 4 1 0 2 r s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. PROBLEMA Sabiendo que los lados de un cuadrado están sobre las rectas: Hallar su área. Solución La recta r pasa por A(1, 0, 2) y su vector director es u =(1, 2, 1) La recta s tiene de vector director: i j k v= 1 – 1 1 = i + 3j – k + i + j + 3k = 2i + 4j + 2k 3 – 1 –1 Un punto cualquiera de la recta s será: La recta s pasa por B(0 , 1 , 3) y su vector director es v =(2, 4, 2) La distancia de la r a la recta s es igual a la distancia del punto B a la recta r. r s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. … PROBLEMA … Solución La recta r pasa por A(1, 0, 2) y su vector director es u =(1, 2, 1) La recta s pasa por B(0 , 1 , 3) y su vector director es v =(2, 4, 2) La distancia de la r a la recta s es igual a la distancia de B a la recta r. El vector AB será: AB = (0 – 1 , 1 – 0 , 3 – 2) = ( – 1, 1, 1) i j k d(B,r) = |ABxu| / |u| = – 1 1 1 / |i + 2j + k| = 1 2 1 = |i + j – 2k – 2i + j – k| / |i + 2j + k| = = |– i + 2j – 3k| / |i + 2j + k| = = √((-1)2+22+(-3)2) / √(12+22+12) = = √14 / √6 =√ (7/3) El lado del cuadrado es igual a la distancia entre las rectas r y s. Área = L2 = √ (7/3) 2 = 7 / 3 u2 A r d B s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA DE RECTA A PLANO DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO. Es la distancia entre un punto de la recta y el plano (sólo en el caso de que ambos sean paralelos), pues en los demás casos la distancia es nula. Sea la recta r:(P,v) Siendo P(p1, p2, p3) un punto de la recta y v(v1,v2,v3) el vector director de r. Sea el plano π:(B,N) Siendo B(b1,b2,b3) un punto del plano y N(A, B, C) el vector director de π. Distancia de r a π = d(P, π) π d P r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO Hallar la distancia de la recta r:(P,v) al plano π:(B,N) Siendo P(3, 2, 1) un punto de la recta y v(0, -2. 1) el vector director de r; siendo B(3, 5, -2) un punto del plano y N(12, -4, 3) el vector director de π. Distancia de r a π = d(P, π) Sea el plano π: 12x – 4y + 3z + D = 0  Por pertenecer B al plano: 12.3 – 4.5 + 3.(-2) + D = 0  D = 20 + 6 – 36 = - 10 |12.3+(-4).2+3.1 – 10| 36 – 8 + 3 – 10 21 d(P, π) = ------------------------------- = --------------------- = ------ √ (122+(-4) 2+32) √169 13 π d P r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Si no son paralelos la distancia es nula. Si lo son, la distancia se calcula obteniendo un punto del primero y averiguando su distancia hasta el segundo. Sean los planos π:(P,N) y π’:(B,N) Siendo P(p1, p2, p3) un punto del plano, B(b1, b2, b3) un punto del otro plano y N(A, B, C) el vector director de π y de π’, igual al ser paralelos. Sea el plano π’:(Ax+By+Cz+D=0) Hallamos D, identificando b1 con x, b2 con y y b3 con z D= – A.b1 – B.b2 – C.b3 Y aplicamos la fórmula. π’ d π P @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO Hallar la distancia entre los planos: π:(3x – 4y + 5z – 4 =0) y π’:(3x – 4y + 5z + 2 =0) Hallamos un punto P, cualquiera del plano π: P(1, 1, 1) es un punto que pertenece al plano. Y aplicamos la fórmula. |A,p1+B.p2+C.p3 + D| d(P, π’) = ---------------------------------- = √(A2+B2+C2) | 3.1 – 4.1 + 5.1 + 2| = ----------------------------- = √(9+16+25) | 3 – 4 + 5 + 2| 6 = ----------------------------- = ---------- = √50 5. √2 = 6. √2 / 10 = 0’6.√2 π’ d π P @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.