MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA 1 Prof.: FERNANDO GERFAUO. TECNÓLOGO EN INFORMÁTICA. Sede: PAYSANDÚ. AÑO 2017.-

Teoría de Conjuntos Conjunto. Concepto primitivo. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Conjunto. Concepto primitivo. Conjunto dado por extensión. Conjunto dado por comprensión. Relación de pertenencia. Relación primitiva. Conjunto finito. Conjunto infinito. Cardinal de un conjunto. Subconjunto. Subconjunto propio. Igualdad de conjuntos. Teoría de Conjuntos Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Teoría de Conjuntos Conjunto potencia. Cardinal del conjunto potencia. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Conjunto potencia. Cardinal del conjunto potencia. Conjuntos de números que aparecen con frecuencia (pág. 153). Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia. Complemento de un conjunto. Propiedades de la Teoría de Conjuntos (pág. 160). Diagramas de Venn (John Venn, lógico inglés, 1834-1923). Producto Cartesiano (Capítulo 5, Sección 5.1). Teoría de Conjuntos Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Dados dos conjuntos A y B, se llama relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB. Una relación sobre un conjunto A es una relación de A en A. ¿Cuántas relaciones de A en B diferentes se pueden construir? ¿Y cuántas de B en A? ¿Cuántas relaciones sobre A distintas se pueden construir? Relaciones Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Propiedades de las Relaciones Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. REFLEXIVA. Una relación ℛ sobre un conjunto A es reflexiva si para todo x ∈ A se cumple que (x, x) ∈ ℛ. SIMÉTRICA. Una relación ℛ sobre un conjunto A es simétrica si para cualesquiera x, y ∈ A tales que (x, y) ∈ ℛ, se tiene que (y, x) ∈ ℛ. TRANSITIVA. Una relación ℛ sobre un conjunto A es transitiva si para cualesquiera x, y, z ∈ A tales que (x, y) ∈ ℛ y (y, z) ∈ ℛ, se tiene que (x, z) ∈ ℛ. ANTISIMÉTRICA. Una relación ℛ sobre un conjunto A es antisimétrica si para cualesquiera x, y ∈ A tales que (x, y) ∈ ℛ y (y, x) ∈ ℛ, sólo si x = y. Propiedades de las Relaciones Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Relaciones RELACIONES DE EQUIVALENCIA. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. RELACIONES DE EQUIVALENCIA. Una relación ℛ sobre un conjunto A es una relación de equivalencia, si ℛ es reflexiva, simétrica y transitiva. Se dice que dos elementos de A son equivalentes si están relacionados mediante una relación de equivalencia sobre A. ÓRDENES PARCIALES. Una relación ℛ sobre un conjunto A es un orden parcial o una relación de orden parcial, si ℛ es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Se llama conjunto parcialmente ordenado a cualquier conjunto A con un orden parcial ℛ, y se denota con (A, ℛ). Relaciones Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Representación de Relaciones Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. MATRIZ CERO-UNO. Sea ℛ una relación de A={a1, a2, …, an} en B={b1, b2,…, bp}, donde los elementos de cada conjunto se han escrito en un orden particular, pero arbitrario. Además, en caso de que A = B, se utiliza la misma ordenación para A y para B. La relación ℛ se puede representar por la matriz cero-uno Mℛ =(mij)nxp donde: 1 si (ai , bj) ∈ ℛ mij = 0 si (ai , bj) ∉ ℛ Representación de Relaciones Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Representación de Relaciones Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. GRAFOS DIRIGIDOS. Un grafo dirigido (o digrafo) G esta formado por los elementos de un conjunto V, no vacío, llamado conjunto de vértices de G, y un subconjunto A de V xV, denominado conjunto de aristas de G. Si a, b ∈ V y (a, b) ∈ A , entonces existe una arista de a a b en G. El vértice a de dicha arista se llama vértice inicial, mientras que el vértice b recibe el nombre de vértice final. Un arista de la forma (a, a) se llama lazo (en a). Una relación ℛ sobre un conjunto A se puede representar mediante un grafo dirigido que tiene por vértices los elementos de A y por aristas los pares ordenados (a, b) tales que (a, b) ∈ ℛ. Representación de Relaciones Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Relaciones de Equivalencia Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Clase de equivalencia. Sean ℛ una relación de equivalencia sobre un conjunto A, y a ∈ A. El conjunto de todos los elementos que están relacionados con a se denomina clase de equivalencia de a. Teorema (Actividad 1, Ficha 3) Teorema. Clases de equivalencia y particiones. Si A es un conjunto, entonces: Las clases de equivalencia de cualquier relación de equivalencia ℛ forman una partición de A. 2) Cualquier partición de A da lugar a una relación de equivalencia ℛ sobre A. Relaciones de Equivalencia Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Diagrama de Hasse (Helmut Hasse, matemático alemán, 1898-1979) Se trata de un grafo que representa de manera simplificada a una relación de orden parcial sobre un conjunto finito. En general, el procedimiento para construirlo es el siguiente: Se comienza con el digrafo asociado a dicha relación. Como una relación de orden parcial es reflexiva, hay un lazo en cada vértice. Dichos lazos, se eliminan. Se eliminan también todas las aristas que tiene el digrafo debido a la transitividad, ya que toda relación de orden parcial es transitiva. Por último, se dispone cada arista de manera que su vértice inicial quede por debajo de su vértice final, quitando todas las flechas de las aristas dirigidas, puesto que las mismas apuntan “hacia arriba”, hacia su vértice final. Órdenes parciales Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Órdenes parciales Relación de orden total. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Relación de orden total. Sea ℛ una relación de orden parcial sobre un conjunto A. Si para todo a, b ∈ A, se cumple que (a, b) ∈ ℛ o (b, a) ∈ ℛ, entonces ℛ es una relación de orden total. En tal caso, se dice que A es un conjunto totalmente ordenado. Elementos maximales y elementos minimales. Sea (A, ℛ) un conjunto parcialmente ordenado. Un elemento x ∈ A es un elemento maximal de A si para todo a ∈ A, tal que x≠a, se cumple que (x, a) ∉ ℛ. Un elemento y ∈ A es un elemento minimal de A si para todo b ∈ A, tal que y≠b, se tiene que (b, y) ∉ ℛ. Órdenes parciales Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Órdenes parciales Máximo. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Máximo. Si (A, ℛ) es un conjunto parcialmente ordenado, entonces x ∈ A es un elemento máximo de A si (a, x) ∈ ℛ, para todo a ∈ A. Mínimo. Si (A, ℛ) es un conjunto parcialmente ordenado, entonces x ∈ A es un elemento mínimo de A si (x, a) ∈ ℛ, para todo a ∈ A. Teorema: Si un conjunto parcialmente ordenado (A, ℛ) tiene un elemento máximo (mínimo), entonces ese elemento es único. Órdenes parciales Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Órdenes parciales Cotas y Extremos. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Cotas y Extremos. Sea (A, ℛ) un conjunto parcialmente ordenado y B⊆A. Un elemento x ∈ A es una cota inferior de B si para todo b ∈ B, se tiene que (x, b) ∈ ℛ. Un elemento x’ ∈ A es el extremo inferior o ínfimo de B si es una cota inferior de B y para todas las demás cotas inferiores x de B, se tiene que (x, x’) ∈ ℛ. Cota superior. Supremo. Retículo. Un conjunto parcialmente ordenado en el que cada par de elementos tiene tanto un supremo como un ínfimo, se llama retículo. Órdenes parciales Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Inducción Matemática El Método de Inducción Matemática. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. El Método de Inducción Matemática.   Considérese una proposición (o un conjunto de ellas) en las que aparece una o varias veces una variable “n”, que representa a un número natural.   Si se sabe que: 1º) La proposición es verdadera para n=0; 2º) Y bajo la hipótesis de que la proposición es verdadera para cierto natural h, puede deducirse la validez de la proposición referida a su siguiente “h + 1”, entonces, la proposición es verdadera para todo natural “n”. Observación: El primero de los enunciados recibe el nombre de PASO BASE, y el segundo, PASO INDUCTIVO. Autores que no consideran al cero como número natural, enuncian el PASO BASE como sigue: “La proposición es verdadera cuando n=1 ”. Inducción Matemática Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Inducción Matemática El Método de Inducción Matemática generalizado. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. El Método de Inducción Matemática generalizado.   Considérese una proposición (o un conjunto de ellas) en las que aparece una o varias veces una variable “n”, que representa a un número natural. Si se sabe que: 1º) La proposición es verdadera para n=k, k ∈ N ; 2º) Y bajo la hipótesis de que la proposición es verdadera para cierto natural h, h≥ k, puede deducirse la validez de la proposición referida a su siguiente “h + 1”, entonces, la proposición es verdadera para todo natural “n”, a partir de “k”. Inducción Matemática Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Inducción Matemática Nota: Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Nota: El siguiente ejemplo ilustra, de cierta manera, el método de inducción matemática. Supóngase una fila interminable de fichas de dominó, numerados consecutivamente, y dispuestas de tal forma que al caer una de ellas, por ejemplo la señalada con el natural h, tumba a la siguiente, señalada con el natural h+1. Supóngase, también, que cae la primera ficha, la numerada con el 1. En seguida se puede intuir lo que ocurrirá con las restantes fichas: ¡caerán todas! Inducción Matemática Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Definiciones recursivas. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Definiciones recursivas.   En ocasiones, es difícil definir objetos o conceptos matemáticos explícitamente; sin embargo, puede resultar sencillo definirlos en términos de ellos mismos. Cuando se realiza esto, se dice que el objeto o el concepto ha sido definido en forma recursiva, o mediante una definición recursiva, utilizando el método o proceso que se conoce con el nombre de Recursión. Ejemplos. Adición de dos naturales. Sumatoria. Potencia de base real y exponente natural. Factorial de un número natural. Los números de Fibonacci. Definiciones recursivas. Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Sucesiones definidas por recurrencia. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre.   Sucesión de números reales. Una sucesión de números reales es una función de cuyo dominio es el conjunto de los números naturales ℕ (o bien ℕ*) y cuyo codominio es el conjunto de los números reales ℝ. Con an de denota la imagen del natural “n”. an recibe el nombre de término general de la sucesión. Sucesiones definidas por recurrencia. Se dice que una sucesión queda definida por recurrencia cuando se especifica como encontrar los términos de la misma en función de términos anteriores. Observación: En tal caso, es posible utilizar el método de inducción matemática para demostrar resultados relacionados con la sucesión. Sucesiones definidas por recurrencia. Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Relaciones de recurrencia. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre.   Progresión geométrica (P. G.) Una sucesión de números reales donde cada término, excepto el primero, se obtiene de multiplicar al anterior por un número real constante y diferente de cero (llamado razón) recibe el nombre de progresión geométrica. Observación: Si (an)n∈ℕ* es una P. G. de razón r, r ∈ ℝ* , se cumple que an+1 = r.an . Término general de una P. G. Sea (an)n∈ℕ* una P. G. de razón r, r ∈ ℝ*. El término general de dicha progresión viene dado por an = a1 . r n-1 Relaciones de recurrencia. Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Relaciones de recurrencia. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre.   Relaciones de recurrencia. Una relación de recurrencia para una sucesión (an)n∈ℕ* , es una ecuación que determina el término an en función de los términos anteriores: an-1 , an-2 , …, an -k, para todo natural n, n> k , siendo k ∈ ℕ* . Una sucesión es una solución de una relación de recurrencia si sus términos satisfacen la relación ∀ n, n ∈ ℕ*. Relaciones de recurrencia lineal. Una relación de la forma an+1=r.an, con n ∈ ℕ*, y donde “r” es una constante real no nula recibe el nombre de relación de recurrencia homogénea, lineal, de primer orden, con coeficientes constantes. La solución (general) de la relación de recurrencia es única y está dada por an = C . r n-1 donde a1 = C. Relaciones de recurrencia. Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Relaciones de recurrencia. Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre.   Relación de recurrencia lineal, homogénea, de orden k, con coeficientes constantes. Sean (an)n∈ℕ* y k, k ∈ ℕ*. Entonces Cn an + Cn -1 an-1 + Cn -2 an-2 + … + Cn -k an-k = f(n), con n> k y donde Cn , Cn -1 , Cn-2 , …, Cn -k , son números reales con Cn y Cn -k no nulos, es una relación de recurrencia lineal, de orden k, con coeficientes constantes. Cuando f(n) = 0, ∀ n, n ∈ ℕ*, se dice que la relación es homogénea; en otro caso es no homogénea. Relación de recurrencia lineal homogénea de orden 2 con coeficientes En el caso en que k = 2, y f(n) = 0, ∀ n, n ∈ ℕ*, se tiene la relación de recurrencia lineal, homogénea, de orden 2: Cn an + Cn -1 an-1 + Cn -2 an-2 = 0, con n > 2. Relaciones de recurrencia. Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-

Bibliografía consultada: Tecnólogo en Informática Sede Paysandú Matemática Discreta y Lógica I. Primer semestre. Bibliografía consultada: Prof.: Fernando Gerfauo Año 2017.-