Componentes de un método de solución numérica Modelo Matemático Sistema de ecuaciones diferenciales, con condiciones iniciales y de borde apropiadas, que representan el problema físico. Necesariamente el modelo matemático contiene simplificaciones respecto del problema real. Se llama ‘error de modelización’ a la diferencia entre la solución exacta del sistema de ecuaciones diferenciales y el fenómeno real correspondiente al problema físico planteado.

Componentes de un método de solución numérica Método de discretización Método utilizado para aproximar las ecuaciones diferenciales por un sistema de ecuaciones algrbraicas en un conjunto de variables discretas (por ejemplo valores de los campos en un conjunto de puntos del espacio e instantes temporales). Métodos populares para las ecs. de Navier Stokes: Diferencias Finitas Volúmenes Finitos Elementos Finitos Métodos espectrales Elementos de contorno ...

Componentes de un método de solución numérica Sistema de coordenadas y base de vectores Las ecuaciones del modelo matemático pueden escribirse en distintos sistemas de coordenadas ( cartesiano, cilíndrico, esférico, curvilíneo) y distintas bases de vectores (cartesiano,.., covariante). La elección suele estar determinada por la geometría del dominio donde está planteado el problema y/o el método de discretización y/o las propias ecuaciones diferenciales.

Componentes de un método de solución numérica Malla o grilla La malla es una representación discreta del dominio y define la ubicación de los puntos de cálculo de las variables. Determina la forma en que se construirán las aproximaciones discretas a las ecs. Diferenciales. Pueden ser estructuradas o no-estructuradas, uniformes o de paso variable, ortogonales o no- ortogonales, etc

Componentes de un método de solución numérica Formulas de aproximación discreta A partir de los valores de las variables discretas en los puntos de la malla deben construirse aproximaciones para las derivadas, interpolación de los campos a otros puntos, integrales de superficie y de volúmen, etc. Las fórmulas de aproximación elegidas determinarán el error de truncamiento (orden de la aproximación) de las ecuaciones discretizadas respecto de las ecuaciones diferenciales, y la estructura del sistema de ecuaciones algebraicas resultante.

Componentes de un método de solución numérica Método de solución de las ecs. algebraicas Solución directa (eliminación Gaussiana, LU, etc) o iterativa (LU incompleta, etc) de sistemas lineales A.x=Q Iteración temporal para problemas no estacionarios Sistemas no lineales y acoplamientos : sucesión de sistemas lineales y relajación Otras técnicas (multigrid, paralelización, etc)

Componentes de un método de solución numérica Criterio de convergencia Excepto en los problemas más simples, el cálculo es iterativo (a varios niveles) y hacen falta criterios para decidir cuando detener la iteración.

Propiedadas de un método de solución numérica Consistencia Las ecuaciones discretizadas deben ‘tender’ a las ecucaiones diferenciales cuando el paso o espaciamiento de la malla tiende a cero ( y el paso temporal también). Las fórmulas de aproximación elegidas determinarán el error de truncamiento (orden de la aproximación) de las ecuaciones discretizadas respecto de las ecuaciones diferenciales. La consistencia significa que el error de truncamiento debe tender a cero con el espaciamiento de la malla.

Propiedadas de un método de solución numérica Estabilidad Al iterar, el método de solución no debe amplificar los errores (los de redondeo, los contenidos en la solución inicial, los cometidos a cada paso al truncar y linearizar, etc.). Un método puede ser estable para un conjunto de parámetros y volverse inestable para otros.

Propiedadas de un método de solución numérica Convergencia Un método es convergente si la solución de las ecuaciones Discretizadas tiende a la solución de las ecuaciones diferenciales cuando (Dx,Dt->0). Para ciertos problemas lineales es suficiente la consistencia y la estabilidad para tener convergencia. En general no. La obtención de una solución independiente de la malla suele aceptarse como evidencia de convergencia (aunque no asegura que la solución sea ‘buena’ en cuanto a su parecido con la solución del problema real)

Propiedadas de un método de solución numérica Conservación Las ecuaciones discretizadas deben reflejar el caracter ‘conservativo’ del modelo matemático : En régimen estacionario y en ausencia de fuentes, los flujos de una magnitud deben estar balanceados en cualquier volúmen de control (local o global)

Propiedadas de un método de solución numérica Precisión Diversas fuentes de error : de modelización de truncamiento de iteración o convergencia