05 – Variograma experimental Correlograma, covarianza y variograma experimental Cálculo Interpretación Mapas variográficos

Objetivo Describir las principales propiedades de la distribución espacial de la variable regionalizada en estudio, más allá de un simple reporte de los valores (perfiles, mapas): ¿Qué tan continua en el espacio es la variable?

Nubes de correlación diferida Observemos las nubes de correlación diferida para varias distancias de separación (datos de leyes de cobre en un yacimiento):

Nubes de correlación diferida La dispersión de la nube aumenta con la distancia de separación. El examen de las nubes de correlación diferida indica cuán semejantes son dos datos en función de la distancia que las separa. Es decir, permite apreciar la correlación espacial de (las variables aleatorias que representan) los valores de la variable regionalizada

Correlograma experimental Una primera manera de medir la correlación espacial consiste en calcular el coeficiente de correlación de las nubes de correlación diferida. Al reportar el valor de este coeficiente de correlación en función de la distancia de separación, se obtiene lo que se denomina el correlograma experimental de los datos. Generalmente, se trata de una función decreciente de la distancia; tiende a cero cuando ésta se vuelve muy grande.

Correlograma experimental Definición matemática: con:

Correlograma experimental Ilustración

Covarianza experimental En lugar de visualizar el coeficiente de correlación, se puede visualizar la covarianza en función de la distancia de separación

Variograma experimental El variograma experimental se obtiene al visualizar el momento de inercia de las nubes de correlación diferida (distancia promedio a la diagonal principal) en función de la distancia de separación: Generalmente, se trata de una función creciente de la distancia; se anula cuando ésta vale cero. Existe una relación entre todas las herramientas variográficas. En general, se prefiere utilizar el variograma, puesto que su cálculo no hace intervenir los valores de las medias m+(h) y m-(h).

Variograma experimental Ilustración

Variograma experimental El variograma muestra características importantes de la variable regionalizada: el crecimiento indica la velocidad con la cual se “desestructura” la variable en el espacio la distancia para la cual se estabiliza el variograma representa la “zona de influencia” de un dato. Se llama alcance el comportamiento cerca del origen indica qué tan semejantes son dos datos muy cercanos, o sea, refleja la continuidad o regularidad de la variable en a pequeña escala el cálculo del variograma puede hacerse a lo largo de distintas direcciones del espacio y evidenciar una anisotropía

Variograma experimental Ilustración del concepto de regularidad espacial

Variograma experimental Ilustración del concepto de anisotropía

Cálculo de variogramas experimentales Datos 2-D o 3-D, regular o irregularmente espaciados Especificación de Dirección (regular):

Cálculo de variogramas experimentales Especificación de dirección (irregular): Y axis (North) Lag Tolerance Bandwidth Lag 4 Azimuth Lag 3 Lag Distance Lag 2 Azimuth tolerance Lag 1 X axis (East)

Cálculo de variogramas experimentales Ejemplo: Comienzo con una separación (#4) Comenzar en un nodo y comparar su valor con todos los nodos que caigan dentro del la tolerancia de separación y tolerancia angular. ...

Cálculo de variogramas experimentales Ir al siguiente nodo. ...

Cálculo de variogramas experimentales Ahora repetir para todos los nodos Y repetir para todas las separaciones Sin correlación Variograma g(h) Variabilidad En aumento ... Distancia de separación (h)

Opciones de cálculo del variograma Parámetros a definir para calcular un variograma experimental: acimut q: dirección en la que se calcula el variograma medida en un plano horizontal respecto al norte, en el sentido de los punteros del reloj tolerancia angular en el acimut Dq: ángulo dentro del que se consideran válidos los datos para el cálculo de la diferencia cuadrática ancho de banda horizontal DhH: banda dentro de la cual se consideran válidos los datos para el cálculo del variograma; se mide perpendicular a la dirección del acimut distancias (múltiplos de una distancia elemental = paso o lag) a las que se calculan los puntos del variograma experimental tolerancia en el paso Dp: tolerancia en la separación, de manera que los datos puedan encontrarse a una distancia mayor o menor al paso número de pasos

Opciones de cálculo del variograma Inclinación j: dirección, medida en el plano vertical del acimut, en la que se calcula el variograma. Inclinación de 0º  dirección horizontal Inclinación positiva  “hacia arriba” Inclinación negativa  “hacia abajo” Tolerancia angular en la inclinación Dj: ángulo dentro del cual se consideran válidos dos datos para el cálculo de la diferencia cuadrática, en el mismo plano vertical en que se definió la inclinación Ancho de banda en la inclinación DhV: dimensión vertical de la banda dentro de la cual se consideran los datos válidos para calcular el variograma Número de pares mínimo: se puede considerar que un punto del variograma es válido si su cálculo se hizo con un número de pares superior a este parámetro Desplazamiento inicial: es la distancia inicial que se considera desde el punto para iniciar la búsqueda de los demás datos Ponderadores de desagrupamiento: muy poco usado en los softwares

Opciones de cálculo del variograma Direcciones y número de direcciones Calcular los variogramas verticales en una corrida y los variogramas horizontales en otra (distinto paso) A menudo escoger tres direcciones horizontales: omnidireccional, dirección de mayor continuidad y perpendicular a ésta Número de pasos y distancia de separación La distancia de separación coincide con el espaciamiento de los datos El variograma experimental es confiable hasta una distancia igual a la mitad del tamaño del campo  escoja el número de separaciones consecuentemente (dado el paso) Tipo de variogramas a calcular Hay un alto grado de flexibilidad disponible. Sin embargo, el variograma tradicional es adecuado en el 95% de los casos Alternativas: covarianza, correlograma

Transformación de datos La mayoría de las leyes de metales preciosos tienen distribuciones de datos altamente sesgadas que generan problemas en el cálculo del variograma; los valores extremos tienen un impacto significativo en el variograma. Una transformación común es tomar los logaritmos: y = log10 ( z ) Efectuar todos los análisis estadísticos con los datos transformados y transformar de vuelta al final  la transformación de vuelta es delicada Varias técnicas geoestadísticas requieren que los datos se transformen a una distribución normal o Gaussiana. El modelo de función aleatoria Gaussiana es único en geoestadística por su extrema simplicidad analítica y por ser la distribución límite en muchos teoremas analíticos conocidos como “teoremas del límite central” La transformación hacia cualquier distribución (y de vuelta) se lleva a cabo fácilmente usando la transformación de cuantiles

Ejemplo de cálculo

Ejemplo de cálculo

Ejemplo de cálculo

Retos en el cálculo del variograma Las distancias pequeñas son las más importantes Describen la continuidad a pequeña escala Son cruciales para la estimación de leyes a partir de los datos cercanos La dirección vertical es típicamente la mejor informada Puede tener artefactos producto del espaciamiento de datos de testigo Manejo de tendencias verticales y variaciones areales En general, la dirección horizontal es más difícil de estimar Usar un paso cercano al espaciamiento de los sondajes

Interpretación de variogramas experimentales Distancia Meseta alcance Efecto pepita Variograma Meseta = la varianza (1.0 si los datos son transformados a normales) Alcance = la distancia a la cual el variograma alcanza la meseta Efecto pepita = suma de variabilidad debida a micro-estructuras geológicas y error de medición Cualquier error en la medición del valor o la posición asignada a la medida se traduce en un efecto pepita más alto.

Interpretación de variogramas experimentales Datos con tendencia g Variograma Distancia Varianza de los datos Vertical Horizontal Ausencia de meseta Puede deberse a la escala de trabajo (distancias de cálculo < alcance). Puede deberse a la presencia de tendencias → considerar una deriva explícita en el modelo de función aleatoria? Puede interpretarse como función aleatoria de varianza infinita

Interpretación de variogramas experimentales Distancia meseta Fluctuaciones Aumentan cuando aumenta la distancia de separación El variograma experimental no es confiable / interpretable para distancias muy grandes con respecto al diámetro del dominio muestreado Regla empírica: calcular el variograma experimental para distancias menores a la mitad de este diámetro

Interpretación de variogramas experimentales Datos Cíclicos meseta g Vertical Horizontal Distancia Ciclicidad Puede estar vinculada a la periodicidad geológica Puede deberse a información limitada / mala elección de parámetros de cálculo Preocuparse del efecto pepita y una estimación razonable del alcance

Interpretación de variogramas experimentales Ejemplo con anisotropía geométrica g Distancia Meseta Variograma Vertical Variograma Horizontal Vertical Horizontal Anisotropía geométrica: alcances diferentes en direcciones diferentes Explicado por: Dirección de flujo preferencial de los fluidos mineralizantes Depositación en direcciones preferenciales (gradiente en temperatura, pH,…) Muy común en la vertical y común en la horizontal

Interpretación de variogramas experimentales Ejemplo con anisotropía zonal g Variograma Horizontal Distancia (h) Meseta Variograma Vertical Meseta aparente Vertical Horizontal Anisotropía zonal: cambio de meseta según la dirección Cuando el variograma vertical alcanza una meseta más alta: Presumiblemente por varianza adicional de la estratificación Cuando el variograma vertical alcanza una meseta más baja: Presumiblemente por una diferencia significativa en el valor promedio en cada zona  el variograma horizontal tiene varianza adicional entre zonas Hay otras explicaciones

Mapas variográficos Consiste en calcular y visualizar el variograma experimental en todas las direcciones del espacio, bajo la forma de un mapa de color. De este modo, se puede distinguir si existe anisotropía (geométrica, zonal, u otra) y calcular el variograma a lo largo de las direcciones principales de anisotropía

Mapas variográficos