VARIABLE ALEATORIA

Tipos: Definición: Variable aleatoria Discreta Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento Tipos: Variable aleatoria Discreta Variable aleatoria Continua

Ejemplos variable aleatoria discreta Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A Llamar a cinco clientes Cantidad de clientes 0, 1,2,3,4,5 Inspeccionar un embarque de 40 chips Cantidad de chips defectuosos 0,1,2,….,40 Funcionamiento de un restaurante durante un día 0,1,2,3……. Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es mujer

Ejemplos variable aleatoria continua Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A Funcionamiento de un banco Tiempo en minuto, entre llegadas de clientes X>=0 Llenar una lata de bebida (máx =12.1 onzas) Cantidad de onzas 0<=x<=12.1 Proyecto para construir un biblioteca Porcentaje de terminado del proyecto 0<=x<=100 Ensayar un nuevo proceso químico Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción deseada (min 150º F; máx 212ºF) 150<=x<=212

Variable aleatoria Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real: Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función. La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Veremos en este capítulo el caso discreto.

Función de probabilidad Una vez definida una variable aleatoria X, podemos definir una función de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma: La función de probabilidad debe cumplir: (Suma sobre todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria).

Función de probabilidad discreta Valores Probabilidad 0 1/4 = 0.25 1 2/4 = 0.50 2 1/4 = 0.25 Z Z Z Z

Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)} Definamos la variable aleatoria discreta X como: con S = {2,3,...,12} la suma de puntos. Una posible función de probabilidad es:

Función de probabilidad de la variable aleatoria X 1/36 2/36 6/36 4/36 5/36 3/36 Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

Función de distribución Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como: En nuestro ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X  5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

x Función de distribución de la variable aleatoria X F 1,0 0,5 0,028 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como: X = Número en la cara de un dado. X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6 1 x f(x) 0.5 F(x) 6 Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x)

Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X  b) de que X asuma algún valor en un intervalo. Observa que: P(a < X  b) = F(b) - F(a) Los sucesos X  a y a< X  b son mutuamente excluyentes. Entonces: F(b) = P(X  b) = P(X  a) + P(a < X  b) = F(a) + P(a < X  b) En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8. P(3 < X  8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

Algunas propiedades de la función de distribución F es monótona creciente. F es continua por la derecha: la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome un valor concreto es igual al salto de la función de distribución en ese punto.

Esperanza matemática o media de un distribución discreta X P(X) X P(X) -1 1 2 3 .1 .2 .4 -.1 .0 .4 .3 1.0 9

Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

Varianza y desviación estándar o típica de una distribución discreta Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos. 10

Ejemplo X P(X) -1 1 2 3 .1 .2 .4 -2 -1 1 2 4 1 .4 .2 .0 1.2 10

Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

Algunas propiedades de la varianza 10

Distribución de Bernoulli Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito  1 fracaso  0 Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una función de probabilidad: Evidentemente:

Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

Distribución Binomial de Probabilidad

Definición La distribución binomial de probabilidad es una distribución discreta de probabilidad que tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con una experimento de etapas múltiples que llamamos binomial.

Experimento Binomial (Propiedades) El experimento consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos. En cada intento o ensayo son posibles dos resultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro fracaso. La probabilidad de un éxito, se representa por p y no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto la probabilidad de un fracaso se representa por (1-p), que tampoco cambia de un intento a otro. Los intentos o ensayos son independientes.

DIAGRAMA DE UN EXPERIMENTO BINOMIAL CON OCHO INTENTOS Propiedad 1: El experimento consiste en n=8 intentos idénticos de lanzar una moneda. Propiedad 2: Cada intento da como resultado un éxito (S) o un fracaso (F). Intentos 1 2 3 4 5 6 7 8 Resultados S F F S S F S S

Distribución binomial La distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento. P. ej.: número de caras en n lanzamientos de una moneda. Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso). En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la probabilidad de que salga cara y q = 1-p =1 - 0.5 = 0.5 es la probabilidad de que no salga cara.

X = Número de veces que ocurre A. Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria: X = Número de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n. Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

La distribución de probabilidad P(X = k) será: Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

Ejercicio: Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

Características de la distribución binomial Media = E(X) = n p = 5 · 0.1 = 0.5 = 5 · 0.5 = 0.25 n = 5 p = 0.1 P(X) .6 .4 .2 X 1 2 3 4 5 Desviación estándar n = 5 p = 0.5 P(X) .6 .4 .2 X 1 2 3 4 5

Distribución de Poisson Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña y np (la media de la distribución binomial) es finito y tiende a  entonces la distribución binomial converge a la distribución de Poisson: Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.

Características de la distribución de Poisson Media = 0.5 P(X)   E ( X )   .6 .4 .2 X Desviación estándar 1 2 3 4 5    = 6 P(X) .6 .4 Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x   .2 X 2 4 6 8 10

 = n p =  La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).  = n p =  Distribución de Poisson para varios valores de .

Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos? La distribución binomial nos daría el resultado exacto: El suceso complementario Ac: No más de 2 televisores defectuosos puede aproximarse con una distribución de Poisson con  = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).

Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector. Si el número de eventos esperados, el número medio de eventos en un intervalo de extensión h es m. Por ejemplo el detector nos informa de la llegada en promedio de 20 fotones fotones cada 5 segundos. Entonces λ = h/ m, será la tasa de eventos por unidad de h. En nuestro caso 4 fotones por segundo. La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson. En nuestro ejemplo la probabilidad de que lleguen x fotones en 5 segundos.

La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado. P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir 9% Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10: μ = 10 P(10)=1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5% Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad. Una distribución de Poisson con μ = 10.

Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más coches? Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para un intervalo pequeño será también pequeño – podemos aproximar la distribución a una Poisson con  = np = 2. y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143 El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad: